F-сигма-множество

F_σ-множество (читается F-сигма-множество) — счетное объединение замкнутых множеств. Обозначение «F-сигма» происходит от первой буквы слова фр. Fermé (замкнутый), и греческой буквы σ (сигма), обозначающей в данном контексте суммирование. Двойственным понятием к понятию F-сигма-множества является понятие G-дельта-множества.

Свойства

• В метризуемых пространствах каждое открытое множество является F-сигма-множеством.

• Дополнение к F_σ-множеству является G-дельта-множеством.

• Объединение счетного числа F_σ-множеств является F_σ-множеством.

• Пересечением конечного числа F_σ-множеств является F_σ-множеством.

• F-сигма-множества — то же что $\mathbf {\Sigma } _{2}^{0}$ в иерархии Бореля.

Примеры

• Каждое замкнутое множество является F_σ-множеством.

• Множество $\mathbb {Q}$ рациональных чисел является F_σ-подмножеством вещественной прямой $\mathbb {R}$.
  • Дополнение $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$, то есть множество иррациональных чисел не является F-сигма-множеством.

• В тихоновских пространствах каждое счётное множество является F-сигма-множеством, поскольку любое одноточечное множество замкнуто.

• Множество на координатной плоскости из всех точек $(x,y)$ таких, что $x/y$ рационально, является F-сигма-множеством, так как оно является объединением всех прямых, проходящих через начало координат с рациональным угловым коэффициентом.

См. также

• G-дельта-множество — двойственное понятие.