Метризуемое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

Необходимые условия метризуемости[править | править исходный текст]

Достаточное условие метризуемости[править | править исходный текст]

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (Урысон и А. Н. Тихонов)

Эквивалентные условия метризуемости[править | править исходный текст]

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и Урысоном. На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

  • пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно коллективно нормально и обладает счётным измельчающимся множеством открытых покрытий;
  • (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет T_1-аксиоме отделимости . При этом множество открытых покрытий пространства X называется фундаментальным, если для каждой точки x\in X, каждой ее окрестности U_x найдутся покрытие \mathcal P и окрестность O_x точки x такие, что каждый элемент покрытия \mathcal P, пересекающийся с O_x, содержится в U_x.

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.

  • Критерий Нагаты — Смирнова: пространство X метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

Критерий Бинга аналогичен, но в нем вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База \mathcal B пространства X называется регулярной (равномерной), если для всякой точки x\in X и любой ее окрестности O_x найдется окрестность U_x этой точки такая, что число элементов базы \mathcal B, пересекающих одновременно U_x и дополнение к O_x, конечно (соответственно, если множество элементов \Omega\in \mathcal B таких что \Omega\ni x, \Omega\not\subset O_x конечно).

  • Пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
  • Для метризуемости T_1-пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

Частные случаи[править | править исходный текст]

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта X любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:

  • X обладает счетной базой;
  • X обладает точечно-счетной базой;
  • в X есть счётная сеть;

Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности — причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

О полноте[править | править исходный текст]

Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой; таково, например, пространство рациональных чисел. Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и является множеством типа G_\delta в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам моровские пространства — вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путем отказа от аксиомы неравенства треугольника. В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.