Ряд Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Рядом Дирихле называется ряд вида

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s},

где s и anкомплексные числа, n = 1, 2, 3, … .


Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число \sigma_c, что при \operatorname{Re}\,s>\sigma_c он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число \sigma_a, что при \operatorname{Re}\,s>\sigma_a ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение 0\leqslant\sigma_a-\sigma_c\leqslant 1 (если \sigma_c и \sigma_a конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространённым примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана, а также L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках[править | править вики-текст]

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке s_0 = \sigma_0 + t_0 i , то этот же ряд сходится в любой точке s = \sigma + t i, для которой \sigma > \sigma_0. Из этого следует, что существует некоторая точка \sigma = \sigma_c такая, что при \operatorname{Re} s > \sigma_c ряд сходится, а при \operatorname{Re} s < \sigma_c --- расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости \sigma_a для ряда \sum \limits_{n=1}^{\infty} {\frac{a_n}{n^s}} называется точка абсцисса сходимости ряда \sum \limits_{n=1}^{\infty} {\frac{a_n}{n^s}}. Справедливо утверждение о том, что 0\leqslant\sigma_a-\sigma_c\leqslant 1.

Поведение функции при \operatorname{Re} s может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка s=\sigma_c является особой для некоторого ряда Дирихле, если \sigma_c - его абсцисса сходимости.

Примеры[править | править вики-текст]

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},

Где \zeta(s)дзета-функция Римана.

\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

где μ(n) — функция Мёбиуса.

\frac{1}{L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}

где L(\chi,s)L-функция Дирихле.


\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^s}.
,

где Lis(z) — полилогарифм.

\sum_{k=1}^\mathcal{1} \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{k} + \cdots Расходится