Ряд Дирихле

Для термина «Дирихле» см. также другие значения.

Рядом Дирихле называется ряд вида

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},$

где s и a_n — комплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число $\sigma _{c}$, что при $\operatorname {Re} s>\sigma _{c}$ он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число $\sigma _{a}$, что при $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$ (если $\sigma _{c}$ и $\sigma _{a}$ конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространёнными примерами ряда Дирихле являются дзета-функция Римана и L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке $s_{0}=\sigma _{0}+t_{0}i$, то этот же ряд сходится в любой точке $s=\sigma +ti$, для которой $\sigma >\sigma _{0}$. Из этого следует, что существует некоторая точка $\sigma =\sigma _{c}$ такая, что при $\operatorname {Re} s>\sigma _{c}$ ряд сходится, а при $\operatorname {Re} s<\sigma _{c}$ — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ называется точка $\sigma _{a}$ такая, что при $\operatorname {Re} s>\sigma _{a}$ ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что $0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1$.

Поведение функции при $\operatorname {Re} s$ может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка $s=\sigma _{c}$ является особой для некоторого ряда Дирихле, если $\sigma _{c}$ — его абсцисса сходимости.

Примеры

• При $\operatorname {Re} \,s>1$
  • $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},$ где $\zeta (s)$ — дзета-функция Римана.
  • ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \mu (n)$ — функция Мёбиуса
  • ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \lambda (n)$ — функция Лиувиля
  • $\zeta ^{2}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \tau (n)$ — число делителей числа $\displaystyle n$
  • ${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}$
  • ${\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n)}}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \nu (n)$ — число простых делителей числа $\displaystyle n$
  • ${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2})}{n^{s}}}$
  • ${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n))^{2}}{n^{s}}}$
• При $\operatorname {Re} \,s>2$
  • ${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}$, где $\displaystyle \varphi (n)$ —функция Эйлера
• ${\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}},$ где $L(\chi ,s)$ — L-функция Дирихле.

• $\operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}},$ где Li_s(z) — полилогарифм.

Гармонический ряд

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{k}}+\cdots$

расходится.