Ряд Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для термина «Дирихле» см. также другие значения.

Рядом Дирихле называется ряд вида

где s и anкомплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число , что при он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число , что при ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение (если и конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространёнными примерами ряда Дирихле являются дзета-функция Римана и L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках[править | править код]

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке , то этот же ряд сходится в любой точке , для которой . Из этого следует, что существует некоторая точка такая, что при ряд сходится, а при  — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда называется точка такая, что при ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что .

Поведение функции при может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка является особой для некоторого ряда Дирихле, если  — его абсцисса сходимости.

Примеры[править | править код]

где дзета-функция Римана.

где μ(n) — функция Мёбиуса.

где L-функция Дирихле.

где Lis(z) — полилогарифм.

Гармонический ряд

расходится.