Ряд Дирихле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Рядом Дирихле называется ряд вида

где s и anкомплексные числа, n = 1, 2, 3, … .


Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число , что при он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число , что при ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение (если и конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространённым примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана, а также L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точках[править | править вики-текст]

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке , то этот же ряд сходится в любой точке , для которой . Из этого следует, что существует некоторая точка такая, что при ряд сходится, а при --- расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда называется точка абсцисса сходимости ряда . Справедливо утверждение о том, что .

Поведение функции при может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка является особой для некоторого ряда Дирихле, если - его абсцисса сходимости.

Примеры[править | править вики-текст]

Где дзета-функция Римана.

где μ(n) — функция Мёбиуса.

где L-функция Дирихле.

,

где Lis(z) — полилогарифм.

Расходится