Делимость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел.

Определение[править | править вики-текст]

Если для некоторого целого числа и целого числа существует такое целое число , что то говорят, что число делится нацело на или что делит

При этом число называется делителем числа , делимое будет кратным числа , а число q называется частным от деления a на b.

Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители.

Обозначения[править | править вики-текст]

  • означает, что делится на , или что число кратно числу .
  • или [источник не указан 948 дней] означает, что делит , или, что то же самое:  — делитель .

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным.
  • У каждого натурального числа, большего 1, есть хотя бы один простой делитель.
  • Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица.
  • Вне зависимости от делимости целого числа на целое число , число a всегда можно разделить на b с остатком, то есть представить в виде:
    где .
В этом соотношении число называется неполным частным, а число r — остатком от деления на . Как частное, так и остаток определяются однозначно.
Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю.
  • Всякое число, делящее как , так и , называется их общим делителем; максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: +1 и −1. Если других общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми.
  • Два целых числа и называются равноделимыми на целое число , если либо и , и делится на , либо ни , ни не делится на него.

Свойства[править | править вики-текст]

Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что  — целые числа.
  • Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю :
  • Любое целое число делится на единицу:
  • На ноль делится только ноль:
,

причём частное в этом случае не определено.

  • Единица делится только на единицу:
  • Для любого целого числа найдётся такое целое число для которого
  • Если и то Отсюда же следует, что если и то
  • Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы
  • Если то
  • Свойство делимости является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно:
    • рефлексивно, то есть любое целое число делится на себя же:
    • транзитивно, то есть если и то
    • антисимметрично, то есть если и то либо либо

Число делителей[править | править вики-текст]

Число положительных делителей натурального числа обычно обозначается , является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле:

в которой  — постоянная Эйлера — Маскерони, а для Дирихле получил значение Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат (получен в 2003 году Хаксли). Однако, наименьшее значение , при котором эта формула останется верной, неизвестен (доказано, что он не меньше, чем ).[1][2][3]

При этом средний делитель большого числа n в среднем растёт как , что было обнаружено А. Карацубой.[4]. По компьютерным оценкам М. Королёва .

Обобщения[править | править вики-текст]

Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например, целые гауссовы числа или кольцо многочленов.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
  2. Аналитическая теория чисел
  3. Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. В. И Арнольд. Динамика, статистика и проективная геометрия полей Галуа. — М.: МЦНМО, 2005. — С. 70. — 72 с.

Литература[править | править вики-текст]