Билинейное преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Билине́йное преобразова́ние (или преим. в зап. литературе преобразование Та́стина (англ.: Tustin’s method transformation)) — конформное отображение, используемое для преобразования передаточной функции линейной стационарной системы (например, корректирующего звена системы управления, электронного фильтра и т. п.) непрерывной формы в передаточную функцию линейной системы в дискретной форме.

Оно отображает точки -оси, , на s-плоскости в окружность единичного радиуса, , на z-плоскости.

Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть, для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичными фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При применении преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:

где  — период квантования (обратная к частоте дискретизации величина).

Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.

Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:

Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции на её дискретный аналог:

то есть:

Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как:

Источники[править | править код]

1 (недоступная ссылка) на с. 47

2 глава 3.2.2 Метод билинейного преобразования

Расчет передаточной характеристики БИХ фильтра на основе аналогового фильтра прототипа. Билинейное преобразование (рус.). Проверено 15 ноября 2010. Архивировано 19 февраля 2012 года.