Билинейное преобразование

Не следует путать с Билинейное отображение.

Не следует путать с Билинейная интерполяция.

Билине́йное преобразова́ние (или преим. в зап. литературе преобразование Та́стина (англ.: Tustin’s method transformation)) — конформное отображение, используемое для преобразования передаточной функции $H_{a}(s)\$ линейной стационарной системы (например, корректирующего звена системы управления, электронного фильтра и т. п.) непрерывной формы в передаточную функцию $H_{d}(z)\$ линейной системы в дискретной форме.

Оно отображает точки $j\omega \$-оси, $Re[s]=0\$, на s-плоскости в окружность единичного радиуса, $|z|=1\$, на z-плоскости.

Это преобразование сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек её передаточной функции. То есть, для каждой точки передаточной функции или АФЧХ исходной системы существует подобная точка с идентичными фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффект сдвига частот практически незаметен при небольших частотах, однако существенен на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование представляет собой функцию, аппроксимирующую натуральный логарифм, который является точным отображением z-плоскости на s-плоскость. При применении преобразования Лапласа над дискретным сигналом (представляющего последовательность отсчётов), результатом является Z-преобразование с точностью до замены переменных:

$z\$ $=e^{sT}\$ $={\frac {e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}}\$ $\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}\ ,$

где $T\$ — период дискретизации (обратная к частоте дискретизации величина).

Аппроксимация, приведённая выше и является билинейным преобразованием.

Обратное преобразование из s-плоскости в z-плоскость и его билинейная аппроксимация записываются следующим образом:

$s\$ $={\frac {1}{T}}\ln(z)\$ $={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\ldots \right]\$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\approx \$ $\approx {\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\ .$

Билинейное преобразование использует это соотношения для замены передаточной функции $H_{a}(s)\$ на её дискретный аналог:

$s\leftarrow {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\ ,$

то есть:

$H_{d}(z)=H_{a}(s){\bigg |}_{s={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}}=H_{a}\left({\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\right)\ .$

Билинейное преобразование — частный случай преобразования Мёбиуса, определяемого как:

$z^{\prime }={\frac {az+b}{cz+d}}\ .$

Источники

1 (недоступная ссылка) на с. 47

2 глава 3.2.2 Метод билинейного преобразования

Расчет передаточной характеристики БИХ фильтра на основе аналогового фильтра прототипа. Билинейное преобразование  (рус.). Дата обращения: 15 ноября 2010.