Гипотеза Артина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории чисел гипотеза Артина — это гипотеза о существовании и количественной оценке простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем.

Формулировка[править | править исходный текст]

Для любого целого числа a, не являющегося точным квадратом и отличного от -1, существует бесконечно много простых чисел, по модулю которых a является первообразным корнем. Более того, для количества N_a(x) таких простых чисел не превышающих x справедлива асимптотика:

N_a(x)\sim A(a)\frac{x}{\ln x} при x\to\infty,

где A(a) — константа, зависящая только от a.


В настоящий момент неизвестно даже, верна ли гипотеза для конкретного числа a=2.

Пример[править | править исходный текст]

Число 2 является первообразным корнем, в частности, по модулю 3 и по модулю 5, но не по модулю 7. Последовательность простых чисел, по модулю которых 2 является первообразным корнем, начинается так:

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, … (последовательность A001122 в OEIS)

На данный момент остаётся открытым вопрос о бесконечности этой последовательности. Гипотеза Артина предполагает утвердительный ответ на этот вопрос.

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]