Гипотеза Эллиота — Халберстама

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гипотеза Эллиота — Халберстама  — это гипотеза о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. Она имеет множество применений в методах решета. Название гипотеза получила в честь Питера Эллиота (англ. Peter D. T. A. Elliott) и Хайни Халберстама (англ. Heini Halberstam).

Пусть  — число простых чисел не превышающих . Если  — натуральное число, а и  — взаимно простые числа, то мы обозначим  — число простых чисел не превышающих и равных по модулю . Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии утверждает, что:

где и  — взаимно просты, а  — функция Эйлера.

Определим теперь функцию погрешности

где максимум берется по всем взаимно простым с

Тогда для всех и всех найдется константа и выполняется

для всех

Эта гипотеза была доказана для всех Энрико Бомбьери и А. И. Виноградовым. Известно, что гипотеза не выполняется в крайней точке

Гипотеза Эллиота — Халберстама имеет несколько следствий. Например, результат Дэна Голдстона утверждает[1], что в предположении справедливости гипотезы, существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 16. В ноябре 2013 года, Джеймс Мейнард показал, что из гипотезы Эллиота — Халберстама можно получить существование бесконечного числа пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 12. В августе 2014 года группа Polymath показала, что при условии истинности обобщенной гипотезы Эллиота — Халберстама, существует бесконечно много пар последовательных простых чисел, отличающихся не более чем на 6.[2]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]