Декамино

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Декамино (или 10-мино) — десятиклеточные полимино, или многоугольники, составленные из 10 единичных квадратов, соединённых сторонами[1][2].

Если не различать фигуры, получаемые друг из друга поворотами и отражениями, то существует 4655 декамино[1][2][3][4]. Если условиться различать зеркальные отражения, то число различных декамино возрастает до 9189[3][5], а если различать и вращения — то до 36 446[3][6][7].

Подмножества[править | править код]

195 из 4655 двусторонних (свободных) декамино содержат в себе отверстия[3][8]. 13 из 195 «дырявых» декамино содержат отверстия в форме домино[9] (все они могут быть получены добавлением единичного квадрата к единственному нонамино с отверстием в форме домино); оставшиеся 182 дырявых декамино содержат отверстия в форме мономино[9].

Симметрии[править | править код]

Единственное декамино с двумя диагональными осями зеркальной симметрии

4655 двусторонних декамино можно разбить на несколько подмножеств по их группам симметрии[7]:

  • 4461 декамино асимметричны — их группа симметрии тривиальна[10];
  • 90 декамино имеют одну ось симметрии, параллельную рёбрам квадратного паркета, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и отражения[11];
  • 22 декамино имеют одну диагональную ось симметрии, и их группа симметрии также состоит из двух элементов[12];
  • 73 декамино имеют центральную симметрию второго порядка, и их группа симметрии состоит из двух элементов — тождественного преобразования и поворота на 180°[13];
  • 8 декамино имеют две взаимно перпендикулярные оси симметрии, параллельные сторонам полимино; их группа симметрий состоит из четырёх элементов — тождественного преобразования, двух отражений и поворота на 180°[14];
  • 1 декамино имеет две взаимно перпендикулярные диагональные оси симметрии, и его группа симметрий состоит из четырёх элементов[15].

В отличие от октамино и нонамино, среди декамино не встречается поворотная симметрия четвёртого порядка.

Число двусторонних или свободных нонамино (фигур, которые можно поворачивать и переворачивать), таким образом, равно

число односторонних нонамино (фигур, которые можно поворачивать, но нельзя переворачивать) равно

а число фиксированных нонамино (фигур, которые нельзя ни поворачивать, ни переворачивать) —

Замощение плоскости[править | править код]

3070 двусторонних декамино (все, кроме 1585, в число которых входят и 195 «дырявых» декамино) покрывают плоскость[16][17][18].

Составление конструкций из декамино[править | править код]

Набор из четырёх декамино, обладающий способностью к правильной самовоспроизводимости первого порядка[1]

Поскольку 195 декамино содержат «отверстия», из всех 4655 фигур нельзя сложить ни одного прямоугольника.

4460 односвязных[19] декамино занимают общую площадь в 44 600 единичных квадратов; наибольший квадрат, который теоретически возможно построить с помощью односвязных декамино — квадрат 210 × 210, для построения которого требуется 4410 декамино. Такой квадрат в действительности был построен Livio Zucca[20].

Псевдодекамино[править | править код]

Псевдополимино — обобщение полимино, набор полей бесконечной шахматной доски, которые может обойти король[1]. Существует 758 381 двустороннее псевдодекамино[21], 1 514 618 односторонних псевдодекамино[22] и 6 053 180 фиксированных псевдодекамино[23].

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 4 Голомб, 1975.
  2. 1 2 Golomb, 1994.
  3. 1 2 3 4 Weisstein, Eric W. Polyomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  4. Последовательность A000105 в OEIS
  5. Последовательность A000988 в OEIS
  6. Последовательность A001168 в OEIS
  7. 1 2 Redelmeier, 1981.
  8. Последовательность A001419 в OEIS
  9. 1 2 Tomás Oliveira e Silva. Detailed data for polyominoes with area 10 (December 19, 2014). Архивировано 26 сентября 2015 года.
  10. Последовательность A006749 в OEIS
  11. Последовательность A006746 в OEIS
  12. Последовательность A006748 в OEIS
  13. Последовательность A006747 в OEIS
  14. Последовательность A056877 в OEIS
  15. Последовательность A056878 в OEIS
  16. Rawsthorne, 1988.
  17. Joseph Myers. Polyomino, polyhex and polyiamond tiling. Архивировано 17 ноября 2015 года.
  18. Последовательности A054359, A054360, A054361 в OEIS
  19. Т.е. не содержащих отверстий.
  20. Giovanni Resta. Maximal squares of polyominoes. Iread.it. Архивировано 16 января 2014 года.
  21. Последовательность A030222 в OEIS
  22. Последовательность A030233 в OEIS
  23. Последовательность A006770 в OEIS

Литература[править | править код]