Полиамонд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полиамонд (англ. polyiamond)[1][2] или треуго́льный мо́нстр (англ. triangular animal)[3][4][5] — геометрическая фигура в виде многоугольника, составленного из нескольких одинаковых равносторонних треугольников, примыкающих друг к другу по рёбрам. Полиамонды можно рассматривать как конечные подмножества треугольного паркета со связной внутренностью.

Наряду с полимино, полиамонды широко распространены в занимательной математике, в частности, в задачах на составление фигур[6][7][8], на замощение плоскости[9].

Количество[править | править вики-текст]

Одним из основных вопросов о полиамондах является вопрос о количестве полиамондов, которые можно составить из данного числа треугольников. Как и в случае полимино, различают «свободные» («двусторонние») полиамонды, для которых повороты и отражения не считаются различными формами; «односторонние», когда фигуры при зеркальных отражениях считаются различными, и «фиксированные», различаемые также и при поворотах.

В следующей таблице указано число n-амондов разных типов вплоть до n = 12.

n полиамонды псевдополиамонды[10][11]
двусторонние односторонние фиксированные двусторонние
все с отверстиями без отверстий
A000577 A070764 A070765 A006534 A001420 (нет)
1 1 0 1 1 2 1
2 1 0 1 1 3 3
3 1 0 1 1 6 11
4 3 0 3 4 14 75
5 4 0 4 6 36 -
6 12 0 12 19 94 -
7 24 0 24 43 250 40 609[11]
8 66 0 66 120 675 -
9 160 1 159 307 1838 -
10 448 4 444 866 5053 -
11 1186 25 1161 2336 14 016 -
12 3334 108 3226 6588 39 169 -

Другие последовательности OEIS, связанные с полиамондами:

  • Последовательность A096361 в OEIS: площадь (в треугольниках), покрываемая всеми n-амондами;
  • Последовательность A030223 в OEIS: число n-амондов с зеркальной симметрией;
  • Последовательность A030224 в OEIS: число n-амондов без зеркальной симметрии.

Примеры[править | править вики-текст]

Название Число фигур Фигуры
Мониамонд (мономонд) 1
Polyiamond-1-1.svg
Диамонд 1
Polyiamond-2-1.svg
Триамонд 1
Polyiamond-3-1.svg
Тетриамонд 3
Polyiamond-4-2.svg Polyiamond-4-1.svg Polyiamond-4-3.svg
Пентиамонд 4
Polyiamond-5-1.svg Polyiamond-5-2.svg Polyiamond-5-3.svg Polyiamond-5-4.svg
Гексиамонд 12
Polyiamond-6-1.svg
«Полоса»[3] (bar)[1][4]
Polyiamond-6-2.svg
«Посох» (crook)
Polyiamond-6-3.svg
«Корона» (crown)
Polyiamond-6-4.svg
«Сфинкс» (sphinx)
Polyiamond-6-5.svg
«Змея» (snake)
Polyiamond-6-6.svg
«Яхта» (yacht)
Polyiamond-6-7.svg
«Погон» (chevron)
Polyiamond-6-8.svg
«Указательный столб» (signpost)
Polyiamond-6-9.svg
«Рак» (lobster)
Polyiamond-6-10.svg
«Крюк» (hook)
Polyiamond-6-11.svg
«Шестиугольник» (hexagon)
Polyiamond-6-12.svg
«Бабочка» (butterfly)

Терминология[править | править вики-текст]

Фрэнк Харари в своих публикациях называл n-мино «n-клеточными животными». В статье «Шахматные доски и полимино» в журнале American Mathematical Monthly Соломон Голомб предложил использовать треугольное или шестиугольное замощение вместо квадратного паркета, введя термины «треугольные монстры» и «шестиугольные монстры» для обозначения соответствующих полиформ[4].

Термин «полиамонд» был придуман математиком Т. О’Берном из Глазго по аналогии с «полимино» и одним из английских названий ромба — диамонд (англ. diamond). Поскольку диамонд можно составить из двух равносторонних треугольников, то фигуру из трёх равносторонних треугольников О’Берн назвал триамондом, из четырёх — тетриамондом и т. д. О’Берн также придумал большинство названий гексиамондов[2][3][4] (см. табл.)

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Weisstein, Eric W. Polyiamond (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. 1 2 Гарднер М. Математические новеллы / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. Я. А. Смородинского. — М: Мир, 1974. — С. 20 — 31.
  3. 1 2 3 Голомб С.В. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — С. 143 — 147. — 207 с.
  4. 1 2 3 4 Golomb, S.W. Polyominoes: Puzzles, Patterns, Problems, and Packings. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1994. — С. 90 — 93.
  5. George E. Martin. Polyominoes: a guide to puzzles and problems in tiling. — MAA, 1996. — ISBN 0-88385-501-1. The Animals.
  6. Polyiamonds. The Poly Pages.
  7. David Goodger. An Introduction to Polyiamonds.
  8. David Goodger. Polyiamonds: Puzzles & Solutions.
  9. Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds. Journal of Computational and Applied Mathematics.
  10. Col. George Sicherman. Galvagni Figures for Polymings. Polyform Curiosities.
  11. 1 2 Peter Esser. Pseudo Polyiamonds. Yahoo Groups (Nov 25, 2010).

Ссылки[править | править вики-текст]