Импликация

Импликация
Не больше, IMPLY
Диаграмма Венна
Определение	$x\rightarrow y$
Таблица истинности	$(1101)$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	${\overline {x}}+y$
Конъюнктивная	${\overline {x}}+y$
Полином Жегалкина	$1\oplus x\oplus xy$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Нет
Сохраняет 1	Да
Монотонна	Нет
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Имплика́ция (от лат. implicatio — связь, сплетение) — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к смыслу союзов «если…, то…».

Импликация записывается как посылка $\Rightarrow$ следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

• посылка является условием, достаточным для выполнения следствия:
• следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы.

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением.

Булева логика

Импликация булевой логике — функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции), переменные могут принимать значения из множества $\{0,1\}$. Результат также принадлежит множеству $\{0,1\}$. Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности. Вместо значений $0,1$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например $\bot$ и $\top$, или $F$ и $T$ или «ложь», «истина».

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция $A\to B$ — это сокращённая запись выражения $\neg A\lor B$.

Прямая импликация (материальная импликация, материальный кондиционал; от $a$ к $b$, $\neg A\lor B$)) задаётся таблицей истинности:

$a$	$b$	$a\to b,a\leqslant b$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

• если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
• если $a\leqslant b$, то истинно (1).

В курсах логики для запоминания таблицы истинности используется следующая модель:

А — начальник, он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0),

В — подчинённый; он может работать (1) или бездельничать (0),

в таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику: по таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

Обратная импликация (от $b$ к $a$, $A\lor (\neg B)$):

$a$	$b$	$a\leftarrow b,a\geqslant b$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

• если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
• если $a\geqslant b$, то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

Отрицание прямой импликации, коимпликация ($A\land (\neg B)$):

$a$	$b$	$a\not \to b,a>b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$0$

• если первый операнд больше второго операнда, то 1,
• если $a>b$, то истинно (1).

Отрицание обратной импликации, обратная коимпликация ($\lnot A\land B$), разряд займа в двоичном полувычитателе:

$a$	$b$	$a\not \leftarrow b,a<b$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

• если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
• если $a<b$, то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке

• Если А, то Б
• Б в том случае, если А
• При А будет Б
• Из А следует Б
• В случае А произойдёт Б
• Б, так как А
• Б, потому что А
• А — достаточное условие для Б
• Б — необходимое условие для А
• А имплицирует Б
• А влечёт Б

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации $A\rightarrow B$ формуле $\neg A\lor B$ (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле $\neg (A\land \neg B)$, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям: отрицание $\neg A$ можно представить в виде $A\rightarrow \nvDash$, где $\nvDash$ — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Литература

• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Игошин В. И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
• Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
• Фролов И. С. Элементы математической логики (рус.). — Самара: Самарский университет, 2001.
• Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. — С. 49—53.
• Климзо Б. Н. Ремесло технического переводчика. — М.: Р.Валент, 2003. — 288 с. — С. 75—84.
• Швейцер А. Д. Перевод и лингвистика. — М.: Воениздат, 1973.

Ссылки

• Импликация и эквивалентность
• Импликация в учебнике MathIt