Импликация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Импликация
Не больше, IMPLY
Venn1011.svg
Диаграмма Венна
Определение
Таблица истинности
Логический вентиль Элемент - нет обозначения.PNG
Нормальные формы
Дизъюнктивная
Конъюнктивная
Полином Жегалкина
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0 Нет
Сохраняет 1 Да
Монотонна Нет
Линейна Нет
Самодвойственна Нет

Импликация (от лат. implicatio — «связь») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами[1][2]:

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы[3].

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением[4]:.

Булева логика[править | править код]

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества . Результат также принадлежит множеству . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений может использоваться любая другая пара подходящих символов, например или или «ложь», «истина».
Правило:
Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация  — это сокращённая запись для выражения .
Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b) (материальная импликация (англ.), материальный кондиционал (англ.))

если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
если , то истинно (1),

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (англ.) (от b к a, )

если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
если , то истинно (1),
обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации

если первый операнд больше второго операнда, то 1,
если , то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (англ.) (),
разряд займа в двоичном полувычитателе,

если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
если , то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке[править | править код]

  • Если А, то Б
  • Б в том случае, если А
  • При А будет Б
  • Из А следует Б
  • В случае А произойдет Б
  • Б, так как А
  • Б, потому что А
  • А — достаточное условие для Б
  • Б — необходимое условие для А

Многозначная логика[править | править код]

Теория множеств[править | править код]

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом , и ей соответствует вложение множеств: пусть , тогда

.

Например, если  — множество всех квадратов, а  — множество прямоугольников, то, конечно, и

(a — квадрат) (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика[править | править код]

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации формуле (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)).

Интуиционистская логика[править | править код]

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде , где  — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов[править | править код]

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Программирование[править | править код]

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условия B в данном участке программы:

 if ( выражение A ) {
    if ( выражение B ) {
       сделать_что-то_полезное
    }
       else {
       <font color=Red>сбой</font>
    };
 }

будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A→B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции.

 if ( выражение A ) and ( выражение B ) {
    сделать_что-то_полезное
 }

При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder) проверка идет до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить еще один условный оператор.

 //выражение A - ложно
 if ( выражение A ) {
    //Дальше проверка не идет
    ... if ( выражение B ) {
       сделать_что-то_полезное
    } ...
 }

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.

Ссылки[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
  • Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
  • Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.