Критерий сходимости знакоположительных рядов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Критерий сходимости положительных рядов  — основной признак сходимости положительных числовых рядов.

Формулировка[править | править код]

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Доказательство[править | править код]

Необходимое условие[править | править код]

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие[править | править код]

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность частичных сумм неубывающая:

Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).

Литература[править | править код]

  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.