Длинная линия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Длинная линия — модель линии передачи, продольный размер (длина) которой превышает длину волны, распространяющейся в ней (либо сравнима с длиной волны), а поперечные размеры (например, расстояние между проводниками, образующими линию) значительно меньше длины волны.

С точки зрения теории электрических цепей длинная линия относится к четырёхполюсникам. Характерной особенностью длинной линии является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается подключенным ко входу линии генератором электромагнитных колебаний и называется падающей. Другая волна называется отражённой и возникает из-за частичного отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к выходу (противоположному генератору концу) линии. Всё разнообразие колебательных и волновых процессов, происходящих в длинной линии, определяется соотношениями амплитуд и фаз падающей и отраженной волн. Анализ процессов упрощается, если длинная линия является регулярной, то есть такой, у которой в продольном направлении неизменны поперчное сечение электромагнитные свойства (εr, μr, σ) заполняющих сред [1].

Дифференциальные уравнения длинной линии[править | править вики-текст]

Двухпроводная длинная линия
ZН = RН + iXН — комплексное сопротивление нагрузки;
z — продольная координата линии, отсчитываемая от места подключения нагрузки.

Первичные параметры[править | править вики-текст]

Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована её погонными параметрами:

  • R1 — погонное сопротивление, Ом/м;
  • G1 — погонная проводимость, 1/Ом·м;
  • L1 — погонная индуктивность Гн/м;
  • C1 — погонная ёмкость Ф/м;
  • Z_1 = R_1 + i\omega L_1
  • Y_1 = G_1 + i\omega C_1

Погонные сопротивление R1 и проводимость G1 зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Согласно закону Джоуля — Ленца, чем меньше тепловые потери в металле проводов и в диэлектрике, тем меньше R1 и больше G1. (Уменьшение активных потерь в диэлектрике означает увеличение его сопротивления, так как активные потери в диэлектрике — это токи утечки. Для модели используется обратная величина — погонная проводимость G1.)

Погонные индуктивность L1 и ёмкость C1 определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.

А Z_1 и Y_1 — погонные комплексные сопротивление и проводимость линии, зависящие от частоты \omega.

Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему.

Эквивалентная схема участка длинной линии[править | править вики-текст]

Эквивалентная схема участка длинной линии. Стрелками обозначены направления отсчета напряжения U и тока I в линии; dU и dI — приращения напряжения и тока в линии на элементе длины dz

Значения параметров схемы определяются соотношениями:


\begin{cases}
dR = R_1dz;\\
dG = G_1dz;\\
dL = L_1dz;\\
dC = C_1dz;\\
\end{cases}
(1)


Используя эквивалентную схему, запишем выражения для приращений напряжения и тока:

\begin{cases}dU = I(dR + i\omega dL)\\ dI = U(dG + i\omega dC)\\\end{cases}

Подставляя сюда значения параметров схемы из (1), получаем:

\begin{cases}dU = IZ_1dz\\ dI = UY_1dz\\\end{cases}

Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии. Эти уравнения определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии и называются телеграфными уравнениями длинной линии:

Телеграфные уравнения[править | править вики-текст]


\begin{cases}
\frac{dU}{dz} = IZ_1\\
\frac{dI}{dz} = UY_1\\
\end{cases}
(2)

Следствия[править | править вики-текст]

Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока. Для этого продифференцируем их по z:


\begin{cases}
\frac{d^2U}{dz^2} = \frac{dI}{dz}Z_1\\
\frac{d^2I}{dz^2} = \frac{dU}{dz}Y_1\\
\end{cases}
(3)

При этом учтем условие регулярности линии:

Условие регулярности линии[править | править вики-текст]


\begin{cases}
\frac{dZ_1}{dz} = 0\\
\frac{dY_1}{dz} = 0\\
\end{cases}
(4)

Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения (4) состоит в неизменности вдоль линии её погонных параметров.

Подставляя в (3) значения производных напряжения и тока из (2), после преобразований получаем:

Однородные волновые уравнения длинной линии[править | править вики-текст]


\begin{cases}
\frac{d^2U}{dz^2} - \gamma^2U = 0\\
\frac{d^2I}{dz^2} - \gamma^2I= 0\\
\end{cases}
,
(5)

где γ — коэффициент распространения волны в линии: \gamma = \sqrt{Z_1Y_1}.

Соотношения (5) называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения известны и могут быть записаны в виде:


\begin{cases}
U = B_Ue^{\gamma z}+A_Ue^{-\gamma z}\\
I = B_Ie^{\gamma z}+A_Ie^{-\gamma z}\\
\end{cases}
,
(6)

где AU, BU и AI, BI — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.

Решения волновых уравнений в виде (6) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой отраженную волну напряжения или тока, распространяющуюся от нагрузки к генератору, второе слагаемое — падающую волну, распространяющуюся от генератора к нагрузке. Таким образом, коэффициенты AU, AI представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты BU, BI — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:

|B_U|\leqslant |A_U|
|B_I|\leqslant |A_I|

Направление распространения волн в (6) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z (см. рис. 1). Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:

\begin{cases}U_\Pi = A_Ue^{-\gamma z}\\I_\Pi = A_Ie^{-\gamma z}\\\end{cases},
(7)

Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:

\gamma = \sqrt{Z_1Y_1} = \sqrt{(R_1 + i\omega L_1)(G_1 + i\omega C_1)} = \alpha + i\beta,
(8)

где α — коэффициент затухания волны[2] в линии; β — коэффициент фазы[3]. Тогда соотношение (7) можно переписать в виде:


\begin{cases}
U_\Pi = A_Ue^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\
I_\Pi = A_Ie^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\
\end{cases}
.
(9)

Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λЛ фаза волны изменяется на 2π, то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λЛ соотношением

\beta = \frac{2\pi}{\lambda_\Lambda}.
(10)

При этом фазовая скорость волны в линии VФ определяется через коэффициент фазы:

V_\Phi = \frac{\omega}{\beta}.
(11)

Определим коэффициенты A и B, входящие в решения (6) волновых уравнений, через значения напряжения UН и тока IН на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений (2) и подставим в него напряжение и ток из (6). Тогда получим:

~A_U\gamma e^{-\gamma z} - B_U\gamma e^{\gamma z} = Z_1( A_Ie^{-\gamma z} +  B_Ie^{\gamma z})

Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:


\begin{cases}
A_I = \frac{A_U}{W}\\
B_I = -\frac{B_U}{W}\\
\end{cases}
,

(12)

где W = \sqrt{\frac{Z_1}{Y_1}} — волновое сопротивление линии[4].

Перепишем (6) с учётом (12):


\begin{cases}
U = A_Ue^{-\gamma z} + B_Ue^{\gamma z}\\
I = \frac{-A_Ue^{-\gamma z} + B_Ue^{\gamma z}}{W}\\
\end{cases}
.

(13)

Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в начале линии z = 0:


\begin{cases}
U(z = 0) = U_H\\
I(z = 0) = I_H\\
\end{cases}
.

Тогда из (13) при z = 0 найдем


\begin{cases}
A_U = \tfrac{1}{2}(U_H + I_HW)\\
B_U = \tfrac{1}{2}(U_H - I_HW)\\
\end{cases}
,

(14)

Подставив полученные значения коэффициентов из (14) в (13), после преобразований получим:


\begin{cases}
U = U_H\operatorname{ch}(\gamma z) + I_HW\operatorname{sh}(\gamma z)\\
I = I_H\operatorname{ch}(\gamma z) + \frac{U_H}{W}\operatorname{sh}(\gamma z)\\
\end{cases}
.

(15)

При выводе (15) учтены определения гиперболических синуса и косинуса[5].

Соотношения для напряжения и тока (15) так же, как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) — через напряжение и ток на нагрузке.

Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует[6]. Тогда в (6) следует положить BU = 0, BI = 0:


\begin{cases}
U = A_Ue^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\
I = A_Ie^{-\alpha z}e^{-i\beta z}\\
\end{cases}
.

Распределение поля падающей волны[править | править вики-текст]

Рис.3. Эпюры напряжений падающей волны в длинной линии. а) амплитуда; б) фаза

На рис.3. представлены эпюры изменения амплитуды |U| и фазы φU напряжения вдоль линии. Эпюры изменения амплитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр следует, что при отсутствии в линии потерь (α[2] = 0) амплитуда напряжения в любом сечении линии остается одной и той же. При наличии потерь в линии (α[2] > 0) часть переносимой мощности преобразуется в тепло (нагревание проводов линии и окружающего их диэлектрика). По этой причине амплитуда напряжения падающей волны экспоненциально убывает в направлении распространения.

Фаза напряжения падающей волны φU = β z изменяется по линейному закону и уменьшается по мере удаления от генератора.

Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напряжения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения положим, что потери в линии отсутствуют, то есть α[2] = 0. Тогда напряжение в линии можно представить в виде:

~U = A_Ue^{-i\beta z} + B_Ue^{i\beta z} = A_U(e^{-i\beta z} + \Gamma e^{i\beta z}), (16)

где \Gamma = B_U / A_U — комплексный коэффициент отражения по напряжению.

Комплексный коэффициент отражения по напряжению[править | править вики-текст]

Характеризует степень согласования линии передачи с нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в пределах: 0 \leqslant |\Gamma | \leqslant 1

  • | Г | = 0, если отражения от нагрузки отсутствуют и BU = 0[6];
  • | Г | = 1, если волна полностью отражается от нагрузки, то есть |A_U| = |B_U|;

Соотношение (16) представляет собой сумму падающей и отраженной волн.

Рис.4. Векторная диаграмма напряжений в линии с отраженной волной

Отобразим напряжение на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы, каждый из векторов которой определяет падающую, отраженную волны и результирующее напряжение (рис. 4). Из диаграммы видно, что существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в этих сечениях достигает максимума, величина которого равна сумме амплитуд падающей и отраженной волн:

~U_{max} = |A_U|+|B_U|.

Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в противофазе. При этом напряжение достигает минимума:

~U_{min} = |A_U|-|B_U|.

Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1, то есть амплитуда падающей и отраженной волн равны |BU| = |AU|, то в этом случае Umax = 2|AU|, а Umin = 0.

Рис.5. Эпюры распределения напряжения вдоль линии с отражённой волной. а) Модуль напряжения; б) фаза напряжения.

Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 5 представлены эпюры изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.

Коэффициенты бегущей и стоячей волны[править | править вики-текст]

По эпюре напряжения судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны — kБВ и коэффициента стоячей волны kСВ:

k_{bv} = \frac{U_{min}}{U_{max}} = \frac{|A_U|-|B_U|}{|A_U|+|B_U|} = \frac{1-|\Gamma |}{1+|\Gamma |}
(17)
k_{sv} = \frac{1}{k_{bv}}
(18)

Эти коэффициенты, судя по определению, изменяются в пределах:

~0\leqslant k_{bv}\leqslant 1,
~1\leqslant k_{sv}\leqslant \infty.

На практике наиболее часто используется понятие коэффициента стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители kСВ) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в определенной полосе частот.

Входное сопротивление длинной линии[править | править вики-текст]

Входное сопротивление линии — является важной характеристикой, которое определяется в каждом сечении линии как отношение напряжения к току в этом сечении:

~Z_{BX} = R_{BX} + iX_{BX}
~Z_{BX}(z) = \frac{U(z)}{I(z)}
(19)

Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно её продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлений. Подробнее свойство линии трансформировать сопротивления будет рассмотрено ниже.

Режимы работы длинной линии[править | править вики-текст]

Различают три режима работы линии:

  1. режим бегущей волны;[7]
  2. режим стоячей волны;[7]
  3. режим смешанных волн.

Режим бегущей волны[править | править вики-текст]

Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме BU = 0, Г | = 0, kсв = kбв = 1[7].

Режим стоячей волны[править | править вики-текст]

Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей BU = AU то есть энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно в генератор. В этом режиме, Г | = 1, kсв = \infty, kбв = 0[7].

Режим смешанных волн[править | править вики-текст]

В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0 < BU < AU то есть часть мощности падающей волны теряется в нагрузке, а остальная часть в виде отраженной волны возвращается обратно в генератор. При этом 0  < | Г | < 1, 1 < kсв < \infty, 0 < kбв < 1

Линия без потерь[править | править вики-текст]

Рис.6. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления в открытой (разомкнутой) линии

В линии без потерь погонные параметры R1 = 0 и G1 = 0. Поэтому для коэффициента распространения γ и волнового сопротивления W получим:

\gamma = \sqrt{Z_1Y_1} = \sqrt{(R_1 + i\omega L_1)(G_1 + i\omega C_1)} = i\omega\sqrt{L_1C_1};
\alpha = 0;~~\beta = \omega\sqrt{L_1C_1};~~W = \sqrt{\frac{Z_1}{Y_1}} = \sqrt{\frac{L_1}{C_1}}.
(20)

С учётом этого выражения для напряжения и тока (15) примут вид:


\begin{matrix} 
U = U_H\cos(\beta z) & + & iI_HW\sin(\beta z) \\ 
I = I_H\cos(\beta z) & + & i\tfrac{U_H}{W}\sin(\beta z)
\end{matrix}
(21)

При выводе этих соотношений учтены особенности[8] гиперболических функций[5].

Рассмотрим конкретные примеры работы линии без потерь на простейшие нагрузки.

Разомкнутая линия[править | править вики-текст]

В этом случае ток, протекающий через нагрузку равен нулю (IН = 0), поэтому выражения для напряжения, тока и входного сопротивления в линии принимают вид:

~U = U_H\cos(\beta z);\quad I = i\frac{U_H}{W}\sin(\beta z)
Z_{BX}=\frac{U}{I}=-iW\operatorname{ctg}(\beta z) = iX_{BX}
\beta = \frac{2\pi}{\lambda}
(22)
Рис.7. Эпюры напряжений, тока и входного сопротивления в короткозамкнутой линии

На рис.6 эти зависимости проиллюстрированы графически. Из соотношений (22) и графиков следует:

  • в линии, разомкнутой на конце, устанавливается режим стоячей волны, напряжение, ток и входное сопротивление вдоль линии изменяются по периодическому закону с периодом λЛ/2;
  • входное сопротивление разомкнутой линии является чисто мнимым за исключением точек с координатами z = Л/4, n = 0,1,2,…;
  • если длина разомкнутой линии меньше λЛ/4, то такая линия эквивалентна ёмкости;
  • разомкнутая на конце линия длиной λЛ/4 эквивалентна последовательному резонансному на рассматриваемой частоте контуру и имеет нулевое входное сопротивление;
  • линия, длина которой лежит в интервале от λЛ/4 до λЛ/2, эквивалентна индуктивности;
  • разомкнутая на конце линия длиной λЛ/2 эквивалентна параллельному резонансному контуру на рассматриваемой частоте и имеет бесконечно большое входное сопротивление.

Замкнутая линия[править | править вики-текст]

В этом случае напряжение на нагрузке равно нулю (UН = 0), поэтому напряжение, ток и входное сопротивление в линии принимают вид:

U = iI_HW\sin(\beta z);\quad I = I_H\cos(\beta z)
Z_{BX} = \frac{U}{I} = iW\operatorname{tg}(\beta z) = iX_{BX}
(23)

На рис.7 эти зависимости проиллюстрированы графически.

Рис.8. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления в линии, нагруженной на ёмкость

Используя результаты предыдущего раздела, нетрудно самостоятельно сделать выводы о трансформирующих свойствах короткозамкнутой линии. Отметим лишь, что в замкнутой линии также устанавливается режим стоячей волны. Отрезок короткозамкнутой линии, длиной меньше λЛ/4 имеет индуктивный характер входного сопротивления, а при длине λЛ/4 такая линия имеет бесконечно большое входное сопротивление на рабочей частоте[9].

Ёмкостная нагрузка[править | править вики-текст]

Как следует из анализа работы разомкнутой линии, каждой ёмкости C на данной частоте ω можно поставить в соответствие отрезок разомкнутой линии длиной меньше λЛ/4. Ёмкость C имеет ёмкостное сопротивление iX_C = -\tfrac{i}{\omega C}. Приравняем величину этого сопротивления к входному сопротивлению разомкнутой линии длиной l < λЛ/4:

-\tfrac{i}{\omega C} = -iW\operatorname{ctg}(\beta l).

Отсюда находим длину линии, эквивалентную по входному сопротивлению ёмкости C:

l = \tfrac{1}{\beta}\operatorname{arctg}(\omega CW).

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления разомкнутой линии, восстанавливаем их для линии, работающей на ёмкость (рис.8). Из эпюр следует, что в линии, работающей на ёмкость, устанавливается режим стоячей волны.

При изменений ёмкости эпюры сдвигаются вдоль оси z. В частности, при увеличении ёмкости ёмкостное сопротивление уменьшается, напряжение на ёмкости падает и все эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам, соответствующим короткозамкнутой линии. При уменьшении ёмкости эпюры сдвигаются влево, приближаясь к эпюрам, соответствующим разомкнутой линии.

Индуктивная нагрузка[править | править вики-текст]

Рис.9. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления в линии, работающей на индуктивность

Как следует из анализа работы замкнутой линии, каждой индуктивности L на данной частоте ω можно поставить в соответствие отрезок замкнутой линии длиной меньше λЛ/4. Индуктивность L имеет индуктивное сопротивление iXЛ = iωL. Приравняем это сопротивление к входному сопротивлению замкнутой линии длиной λЛ/4:

~i\omega L = iW\operatorname{tg}(\beta l).

Отсюда находим длину линии l, эквивалентную по входному сопротивлению индуктивности L:

~l = \tfrac{1}{\beta}\operatorname{arctg}(\omega\tfrac{L}{W}).

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления замкнутой на конце линии, восстанавливаем их для линии, работающей на индуктивность (рис. 9). Из эпюр следует, что в линии, работающей на индуктивность, также устанавливается режим стоячей волны. Изменение индуктивности приводит к сдвигу эпюр вдоль оси z. Причем с увеличением L эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам холостого хода, а с уменьшением L — влево по оси z, стремясь к эпюрам короткого замыкания.

Активная нагрузка[править | править вики-текст]

В этом случае ток и напряжение на нагрузке RН связаны соотношением UН = IНRН[10]. Выражения для напряжения и тока в линии (21) принимают вид:

U = U_H\cos(\beta z) + iU_H\tfrac{W}{R_H}\sin(\beta z)
I = I_H\cos(\beta z) + iI_H\tfrac{R_H}{W}\sin(\beta z)
(23)

Рассмотрим работу такой линии на примере анализа напряжения. Найдем из (23) амплитуду напряжения в линии:

|U| = U_H\sqrt{\cos^2(\beta z) + \left (\tfrac{W}{R_H}\right )^2\sin^2(\beta z)}
(24)

Отсюда следует, что можно выделить три случая:

  • Сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению линии RН = W [6][7]
  • Сопротивление нагрузки больше волнового сопротивления линии RН > W
  • Сопротивление нагрузки меньше волнового сопротивления линии RН < W

В первом случае из (24) следует |U| = UН, то есть распределение амплитуды напряжения вдоль линии остается постоянным, равным амплитуде напряжения на нагрузке. Это соответствует режиму бегущей волны в линии.

Комплексная нагрузка[править | править вики-текст]

КПД линии с потерями[править | править вики-текст]

Пределы применимости теории длинной линии[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. ГОСТ 18238-72. Линии передачи сверхвысоких частот. Термины и определения.
  2. 1 2 3 4 Коэффициент затухания α определяет скорость уменьшения амплитуды волны при распространении вдоль линии.
  3. Коэффициент фазы β определяет скорость изменения фазы волны вдоль линии.
  4. Волновым сопротивлением линии передачи называется отношение напряжения к току в бегущей волне.
  5. 1 2 Гиперболические функции
  6. 1 2 3 Такая линия называется полностью согласованной.
  7. 1 2 3 4 5 Не реализуемо на практике. Является лишь математической абстракцией Возможно лишь приближение в той, или иной степени.
  8. \operatorname{ch}(i\beta z)=\cos(\beta z), \operatorname{sh}(i\beta z)=\sin(\beta z)
  9. Это свойство короткозамкнутого четвертьволнового отрезка линии позволяет использовать его в практических устройствах как «металлический изолятор».
  10. Закон Ома