Предаддитивная категория

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов , множество имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

Предаддитивную категорию иногда называют также -категорией[1].

Примеры[править | править вики-текст]

Аддитивные функторы[править | править вики-текст]

Функтор называется аддитивным, если каждое отображение является гомоморфизмом абелевых групп.

Если и  — категории, причём предаддитивна, то категория функторов также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если тоже предаддитивна, то категория аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если предаддитивна, то категория называется категорией модулей над . Если  — предаддитивная категория из одного объекта — кольца , это приводит к обычному определению (левых) -модулей.

 — категория всех малых -категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаи[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

Литература[править | править вики-текст]

  • Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.