Классификация Бьянки

Классификация Бьянки — классификация вещественных трёхмерных алгебр и групп Ли. Названа в честь Луиджи Бьянки, который доказал её в 1898 году.

Классификация содержит 11 классов; 9 из них содержат по одной алгебре, а два содержат континуальное семейство алгебр. (Иногда две группы включаются в бесконечные семейства, давая 9 вместо 11 классов.)

Термин классификация Бьянки также используется для аналогичных классификаций в других размерностях, а также для классификаций комплексных алгебр Ли.

Размерности 0, 1 и 2

• Размерность 0: единственной алгеброй Ли является тривиальная нульмерная алгебра.
• Размерность 1: единственной алгеброй Ли является абелева алгебра Ли $\mathbb {R}$. Её группа внешних автоморфизмов есть мультипликативная группа ненулевых вещественных чисел.
• Размерность 2: есть две алгебры Ли:
  1. Абелева алгебра Ли $\mathbb {R} ^{2}$ с группой внешних автоморфизмов $GL(2,\mathbb {R} )$ .
  2. Разрешаемая алгебра Ли верхнетреугольных 2×2-матриц с нулевым следом. Она имеет тривиальный центр и тривиальную группу внешних автоморфизмов. Ассоциированная односвязная группа Ли — группа аффинных преобразований прямой (иногда она называется $(a\cdot x+b)$-группой).

Размерность 3

Все трёхмерные алгебры Ли, кроме типов VIII и IX, могут быть построены как полупрямое произведение $\mathbb {R} ^{2}$ и $\mathbb {R}$, причем $\mathbb {R}$ действует на $\mathbb {R} ^{2}$ некоторой 2×2-матрицей $M$. Разные типы соответствуют разным типам матриц $M$, как описано ниже.

• Тип I. Это абелева и унимодулярная алгебра Ли $\mathbb {R} ^{3}$. Её односвязная группа имеет центр $\mathbb {R} ^{3}$ и группу внешних автоморфизмов $GL(3,\mathbb {R} )$. Это тот случай, когда $M$ равно 0.
• Тип II: алгебра Гейзенберга, которая является нильпотентной и унимодулярной. Односвязная группа имеет центр $\mathbb {R}$ и группу внешних автоморфизмов $GL(2,\mathbb {R} )$. Это тот случай, когда $M$ нильпотентна, но не 0 (все собственные значения 0).
• Тип III: эта алгебра является произведением $\mathbb {R}$ и 2-мерной неабелевой алгебры Ли. (Это предельный случай типа VI, когда одно собственное значение обращается в ноль.) Она разрешима и не унимодулярна. У односвязной группы есть центр $\mathbb {R}$. Её группа внешних автоморфизмов — группа ненулевых вещественных чисел. Матрица $M$ имеет одно нулевое и одно ненулевое собственное значение.
• Тип IV: алгебра, определяется равенствами [ y, z ] = 0, [ x, y ] = y, [ x, z ] = y + z. Она разрешима и не унимодулярна. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, являющихся произведением вещественных чисел и группы порядка 2. Матрица $M$ имеет два равных ненулевых собственных значения, но не диагонализуема.
• Тип V: [ y, z ] = 0, [ x, y ] = y, [ x, z ] = z . Разрешима и не унимодулярна. (Предельный случай типа VI, когда оба собственных значения равны.) Односвязная группа имеет тривиальный центр, а внешние автоморфизмы группируют элементы $GL(2,\mathbb {R} )$ определителя +1 или −1. Матрица $M$ имеет два равных собственных значения и диагонализуема.
• Тип VI: бесконечное семейство: полупрямые произведения $\mathbb {R} ^{2}$ на $\mathbb {R}$, где матрица $M$ имеет ненулевые различные вещественные собственные значения с ненулевой суммой. Алгебры разрешимы и не унимодулярны. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, являющуюся произведением ненулевых вещественных чисел и группы порядка 2.
• Типа VI_0: Эта алгебра Ли является полупрямым произведением $\mathbb {R} ^{2}$ на $\mathbb {R}$, где матрица М имеет ненулевые различные вещественные собственные значения с нулевой суммой. Она разрешима и унимодулярна. Это алгебра Ли 2-мерной группы Пуанкаре — группы изометрий 2-мерного пространства Минковского. Односвязная группа имеет тривиальный центр и группу внешних автоморфизмов, произведение положительных вещественных чисел с группой диэдра порядка 8.
• Тип VII: бесконечное семейство: полупрямые произведения $\mathbb {R} ^{2}$ на $\mathbb {R}$, где матрица $M$ имеет комплексные собственные значения, не вещественные и не мнимые. Разрешима и не унимодулярна. Односвязная группа имеет тривиальный центр, а внешние автоморфизмы группируют ненулевые вещественные числа.
• Тип VII₀: полупрямое произведение $\mathbb {R} ^{2}$ на $\mathbb {R}$, где матрица $M$ имеет ненулевые мнимые собственные значения. Разрешима и унимодулярна. Это алгебра Ли группы изометрий плоскости. Односвязная группа имеет центр $\mathbb {Z}$ и группу внешних автоморфизмов, являющуюся произведением ненулевых вещественных чисел и группы порядка 2.
• Тип VIII: алгебра Ли ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )\ \ 2\times 2$-матриц с нулевым следом, ассоциированная с группой $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$. Простая и унимодулярная. Односвязная группа не является матричной группой; она обозначается ${\widetilde {\mbox{SL}}}(2,\mathbb {R} )$, имеет центр $\mathbb {Z}$ и группу внешних автоморфизмов порядка $2$.
• Тип IX: алгебра Ли ортогональной группы $\mathrm {O} (3,\mathbb {R} )$. Она обозначается ${\mathfrak {so}}(3)$ и является простой и унимодулярной. Соответствующая односвязная группа — $\mathrm {SU} (2)$; она имеет центр порядка $2$ и тривиальную группу внешних автоморфизмов, и является спинорной группой .

Классификация трёхмерных комплексных алгебр Ли аналогична, за исключением того, что типы VIII и IX становятся изоморфными, а типы VI и VII становятся частью единого семейства алгебр Ли.

Связные 3-мерные группы Ли можно классифицировать следующим образом: они являются фактором соответствующей односвязной группы Ли по дискретной подгруппе центра, поэтому их можно прочитать из данного списка.

Группы связаны с 8 типами геометрий в гипотезе геометризации Терстона. Точнее, семь из 8 геометрий могут быть реализованы как левоинвариантные метрики на односвязной группе (иногда более чем одним способом). Геометрия типа $S^{2}\times \mathbb {R}$ не может быть реализована таким образом.

Ссылки

• Р. Борчердс  (англ.), Lie groups: Bianchi classification на YouTube