Полупрямое произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам и , и действию группы на группе автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп и над обычно обозначается .

Конструкция[править | править вики-текст]

Пусть задано действие группы на пространстве группы с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм группы в группу автоморфизмов группы . Автоморфизм группы , соответствующий элементу из при гомоморфизме обозначим . В качестве группы  — полупрямого произведения групп и над гомоморфизмом  — берётся множество c бинарной операцией , действующей по правилу:

для любых , .

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Группы и естественно вложены в , причём  — нормальная подгруппа в .
  2. Каждый элемент однозначно разложим в произведение , где и  — элементы групп и соответственно. (Это свойство оправдывает название группы как полупрямого произведения групп и .)
  3. Заданное действие группы на группе совпадает с действием на сопряжениями (в группе ).

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе (свойство универсальности полупрямого произведения групп).


Пример[править | править вики-текст]

Группа вычетов по модулю 4 () действует на (рассматриваемой как аддитивная группа соответствующего кольца) четырьмя разными способами:

, где  — фиксированный ненулевой элемент , , .

Соответственно, на множестве можно ввести 4 структуры группы — полупрямого произведения:

Можно показать, что последние две группы изоморфны, а остальные — нет, а также, что эти примеры перечисляют все группы порядка 20, содержащие элемент порядка 4 (при этом используются теоремы Силова).

Подобным образом полупрямое произведение групп используется вообще для классификации конечных групп.

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.