Константа простых чисел

Не следует путать с константой проcтых–близнецов.

Константа простых чисел — вещественное число $\rho$, $n$-ая двоичная цифра которого равна 1, если $n$ является простым, и 0, если n является составным или 1.

Другими словами, $\rho$ является просто числом, двоичное разложение которого соответствует индикаторной функции множества простых чисел. То есть

$\rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}$

где $p$ означает простое число, а $\chi _{\mathbb {P} }$ является характеристической функцией простых чисел.

Начальные знаки десятичного представления числа ρ: $\rho =0{,}414682509851111660248109622\ldots$ (последовательность A051006 в OEIS)

Начальные знаки двоичного представления: $\rho =0{,}011010100010100010100010000\ldots _{2}$ (последовательность A010051 в OEIS)

Иррациональность

Легко показать, что число $\rho$ иррационально. Чтобы увидеть это, предположим, что оно рационально.

Обозначим $k$-й знак двоичного представления $\rho$ через $r_{k}$. Тогда, поскольку $\rho$ по предположению рационально, должны существовать положительные числа $N$ и $k$, такие, что $r_{n}=r_{n+ik}$ для всех $n>N$ и всех $i\in \mathbb {N}$.

Поскольку простых чисел бесконечно много, мы можем выбрать простое $p>N$. По определению мы знаем, что $r_{p}=1$. Как было указано выше, должно выполняться $r_{p}=r_{p+ik}$ для любого $i\in \mathbb {N}$. Рассмотрим случай $i=p$. Мы имеем $r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0$, поскольку $p(k+1)$ составное, так как $k+1\geq 2$. Поскольку $r_{p}\neq r_{p(k+1)}$, мы должны констатировать, что $\rho$ иррационально.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Prime Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.