Соотношение Безу

Не следует путать с Теоремой Безу — об остатке от деления многочлена на двучлен $x-a$.

Соотноше́ние Безу́ — представление наибольшего общего делителя целых чисел в виде их линейной комбинации с целыми коэффициентами.

Названо в честь французского математика Этьена Безу.

История

Впервые данный факт опубликовал в 1624 году французский математик Клод Гаспар Баше де Мезириак для случая взаимно простых чисел. Формулировка Баше следующая: «Даны два [взаимно] простых числа, найдите наименьшее кратное каждого из них, превышающее на единицу кратное другого». Для решения задачи Баше использовал алгоритм Евклида.

Этьен Безу в своём четырёхтомном «Курсе математики» (Cours de Mathematiques a l'usage des Gardes du Pavillon et de la Marine, том 3, 1766) обобщил теорему, распространив её на произвольные пары чисел, а также на многочлены.

Формулировка

Пусть $a$, $b$ — целые числа, хотя бы одно из которых не ноль. Тогда существуют такие целые числа $x,y$, что выполняется соотношение НОД$(a,b)=x\cdot a+y\cdot b$

Это утверждение называется соотношением Безу (для чисел $a$ и $b$), а также леммой Безу или тождеством Безу. При этом целые числа $x,y$ называются коэффициентами Безу.

Существует также модификация соотношения Безу, ограниченная натуральными числами:

Пусть $a$, $b$ — натуральные числа. Тогда существуют такие натуральные числа $x,y$, что выполняется соотношение НОД$(a,b)=x\cdot a-y\cdot b$

Примеры

• НОД$(12,30)=6.$ Соотношение Безу имеет вид:

  $6=3\cdot 12+(-1)\cdot 30$

  • Возможны и другие варианты разложения НОД, например: $6=(-2)\cdot 12+1\cdot 30.$

Следствия

Если числа $a,b$ взаимно простые, то уравнение

$ax+by=1$

имеет целочисленные решения. Этот важный факт облегчает решение диофантовых уравнений первого порядка.

НОД$(a,b)$ является наименьшим натуральным числом, которое может быть представлено в виде линейной комбинации чисел $a$ и $b$ с целыми коэффициентами.

Множество целочисленных линейных комбинаций $\{ax+by\}$ совпадает с множеством кратных для НОД$(a,b)$).

Коэффициенты Безу

Поскольку случай, когда хотя бы одно из чисел $a,b$ равно нулю, тривиален, далее в этом разделе предполагается, что оба эти числа не равны нулю.

Неоднозначность

Нахождение коэффициентов Безу эквивалентно решению диофантового уравнения первого порядка с двумя неизвестными:

$ax+by=d,$ где $d=$ НОД$(a,b).$

Или, что то же самое:

${\frac {a}{d}}x+{\frac {b}{d}}y=1.$

Отсюда следует, что коэффициенты Безу $x,y$ определены неоднозначно — если какие-то их значения $x_{0},y_{0}$ известны, то всё множество коэффициентов даётся формулой

$\left\{\left(x_{0}+{\frac {kb}{d}},y_{0}-{\frac {ka}{d}}\right)\mid k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3\dots \right\}.$

Ниже будет показано, что существуют коэффициенты Безу, удовлетворяющие неравенствам $|x|<\left|{\frac {b}{d}}\right|$ и $|y|<\left|{\frac {a}{d}}\right|$.

Вычисление коэффициентов с помощью алгоритма Евклида

Для нахождения коэффициентов Безу можно использовать расширенный алгоритм Евклида нахождения НОД и представить остатки в виде линейных комбинаций a и b. Шаги алгоритма записываются в следующем виде:

$r_{1}=a-bq_{0},$

$r_{2}=b-r_{1}q_{1}=b-(a-bq_{0})q_{1}=b(1+q_{0}q_{1})-aq_{1},$

$r_{3}=r_{1}-r_{2}q_{2}=(a-bq_{0})-(b(1+q_{0}q_{1})-aq_{1})q_{2}=a(1+q_{1}q_{2})-b(q_{0}+q_{2}+q_{0}q_{1}q_{2}),$

…

$r_{n}=r_{n-2}-r_{n-1}q_{n-1}=\dots =ax+by.$

Пример

Найдём соотношение Безу для $a=991,b=981.$ Формулы алгоритма Евклида имеют вид

$991={\boldsymbol {981}}\cdot 1+10,$

${\boldsymbol {981}}=10\cdot 98+1,$

$10=1\cdot 10.$

Таким образом, НОД$(991,981)=1$. Из этих формул получаем:

$10={\boldsymbol {991}}-1\cdot {\boldsymbol {981}},$

$1={\boldsymbol {981}}-10\cdot 98={\boldsymbol {981}}-98\cdot ({\boldsymbol {991}}-{\boldsymbol {981}})=99\cdot {\boldsymbol {981}}-98\cdot {\boldsymbol {991}}.$

В итоге соотношение Безу имеет вид

$1=99\cdot {\boldsymbol {981}}-98\cdot {\boldsymbol {991}}.$

Вычисление коэффициентов с помощью непрерывных дробей

Альтернативный (по существу эквивалентный) способ решения уравнения $ax+by=d$ использует непрерывные дроби. Разделим обе части уравнения на НОД: $a_{1}x+b_{1}y=1$. Далее разложим ${\frac {|a_{1}|}{|b_{1}|}}$ в непрерывную дробь и подсчитаем подходящие дроби ${\frac {p_{k}}{q_{k}}}$. Последняя ($n$-я) из них будет равна ${\frac {|a_{1}|}{|b_{1}|}}$ и связана с предыдущей обычным соотношением:

$p_{n}q_{n-1}-q_{n}p_{n-1}=(-1)^{n-1}.$

Подставив в эту формулу $p_{n}=a_{1};q_{n}=b_{1}$ и умножив обе части на $d$, получаем

$aq_{n-1}-bp_{n-1}=\pm d.$

С точностью до знака, это соотношение Безу. поэтому предпоследняя подходящая дробь ${\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}}$ даёт модули решения: $|x|$ есть знаменатель этой дроби, а $|y|$ — числитель. Осталось, исходя из первоначального уравнения, найти знаки $x,y$; для этого достаточно найти последние цифры в произведениях $|ax|,|by|$.

Минимальные пары коэффициентов

Приведённый в предыдущем разделе алгоритм через непрерывные дроби, как и эквивалентный ему алгоритм Евклида, даёт в результате пару $(x,y)$, удовлетворяющую неравенствам

$|x|<\left|{\frac {b}{d}}\right|;\quad |y|<\left|{\frac {a}{d}}\right|.$

Этот факт следует из того, что дроби ${\frac {|y|}{|x|}}$ и ${\frac {|a_{1}|}{|b_{1}|}}$, как указано выше, образуют последовательные подходящие дроби, а числитель и знаменатель следующей подходящей дроби всегда больше, чем у предыдущей. Для краткости можно назвать такую пару минимальной, таких пар всегда две.

Пример. Пусть $a=12,b=42$. НОД(12, 42) = 6. Ниже приведены некоторые элементы списка пар коэффициентов Безу, причём минимальные пары выделены красным цветом:

${\begin{alignedat}{3}&\dots \\&12\times &\color {blue}{-10}&{}+42\times &\color {blue}{3}&{}=6\\&12\times &\color {red}{-3}&{}+42\times &\color {red}{1}&{}=6\\&12\times &\color {red}{4}&{}+42\times &\color {red}{-1}&{}=6\\&12\times &\color {blue}{11}&{}+42\times &\color {blue}{-3}&{}=6\\&12\times &\color {blue}{18}&{}+42\times &\color {blue}{-5}&{}=6\\&\dots \end{alignedat}}$

Применение

Соотношение Безу часто используется как лемма в ходе доказательства других теорем (например, основной теоремы арифметики), а также для решения диофантовых уравнений и сравнений по модулю.

Решение диофантовых уравнений первой степени

Рассмотрим решение в целых числах диофантовых уравнений вида

$ax+by=c.$

Обозначим $d={}$НОД$(a,b).$ Очевидно, уравнение имеет целочисленные решения только в том случае, когда $c$ делится на $d$. Будем считать это условие выполненным, и одним из приведённых выше алгоритмов найдём коэффициенты Безу $x,y$:

$ax+by=d.$

Тогда решением исходного уравнения будет пара $c_{1}x,c_{1}y$, где $c_{1}=c/d$.

Решение сравнений первой степени

Для решения сравнений первой степени

$ax\equiv b{\pmod {m}}$

его достаточно преобразовать к виду

$ax+my=b.$

Практически важным частным случаем является нахождение обратного элемента в кольце вычетов, то есть решение сравнения

$ax\equiv 1{\pmod {m}}.$

Вариации и обобщения

Соотношение Безу легко обобщается на случай, когда имеется более двух чисел:

Пусть $a_{1}$, …, $a_{n}$ — целые числа, не все равные нулю. Тогда существуют такие целые числа $x_{1}$, …, $x_{n}$, что выполняется соотношение: НОД$(a_{1}$, …, $a_{n})$ = $x_{1}\cdot a_{1}+\cdots +x_{n}\cdot a_{n}$

Соотношение Безу может иметь место не только для целых чисел, но и в других коммутативных кольцах (например, для гауссовых целых чисел). Такие кольца называются кольцами Безу.

Пример: формулировка для кольца многочленов (от одной переменной):

Пусть $\left(P_{i}\right)_{i\in I}$ — какое-либо семейство многочленов, и не все они равны нулю. Обозначим $\Delta$ их наибольший общий делитель. Тогда существует такое семейство многочленов $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$, что выполняется соотношение: $\Delta =\sum _{i\in I}A_{i}P_{i}$

Коэффициенты Безу для двух многочленов от одной переменной могут быть вычислены аналогично изложенному выше для целых чисел (с помощью расширенного алгоритма Евклида). Общие корни двух многочленов являются корнями также и их наибольшего общего делителя, поэтому из соотношения Безу и основной теоремы алгебры вытекает следующий результат:

Пусть даны многочлены $f(x)$ и $g(x)$ с коэффициентами в некотором поле. Тогда многочлены $a(x)$ и $b(x)$ такие, что $af+bg=1$, существуют тогда и только тогда, когда $f(x)$ и $g(x)$ не имеют общих корней ни в каком алгебраически замкнутом поле (обычно в качестве последнего берётся поле комплексных чисел).

Обобщением этого результата на любое количество многочленов и неизвестных является Теорема Гильберта о нулях.

См. также

• Алгоритм Евклида
• Диофантово уравнение
• Наибольший общий делитель
• Решение сравнений
• Сравнение по модулю

Литература

• Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — 180 с.
• Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969. — (Популярные лекции по математике).
• Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: Изд. иностранной литературы, 1953. — 529 с.

Ссылки

• Онлайн-калькулятор коэффициентов соотношения Безу.
• Bezout’s Identity  (англ.).
• Bezout’s identity, Euclidean algorithm (англ.).