Аффинная связность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Кручение связности»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Аффи́нная свя́зность — линейная связность на касательном расслоении многообразия. Координатными выражениями аффинной связности являются символы Кристоффеля.

На гладком многообразии каждая точка имеет своё касательное пространство. Аффинная связность позволяет рассматривать векторы для различных касательных пространств как принадлежащие одному пространству. Благодаря этому, например, могут быть определены операции дифференцирования векторных полей.

Аффинная связность и тензорное исчисление[править | править код]

Подробнее см. статью Ковариантная производная.

В трёхмерном евклидовом пространстве определена операция дифференцирования векторных полей. При определении производной векторного поля на многообразии такой формулой полученная величина не является векторным (тензорным) полем. То есть при замене координат не преобразуется по тензорному закону. Чтобы результат дифференцирования был тензором, вводятся дополнительные поправочные слагаемые. Эти слагаемые известны как символы Кристоффеля.

Определение[править | править код]

Пусть M — гладкое многообразие и обозначает пространство векторных полей на M. Тогда аффинная связность на M — это билинейное отображение

такое, что для любой гладкой функции fC(M,R) и любых векторных полей X, Y на M:

  1. , то есть, линейно по первому аргументу;
  2. , то есть удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Связанные определения[править | править код]

  • Кручением афинной связности называется выражение
где означает скобку Ли векторных полей.
  • Аффинная связность с нулевым кручением на римановом многообразии, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен , называется связностью Леви-Чивиты.
  • Кривизной афинной связности (или римановой кривизной) называется тензор
  • Аффинная связность с нулевой кривизной называется евклидовой.

Литература[править | править код]

Оригинальные работы[править | править код]

В этой работе подход к исследованию аффинной связности мотивирован изучением теории относительности. Включает в себя подробное обсуждение систем отсчёта, и то, как связность отражает физическое понятие перемещения вдоль мировой линии.
В этой работе использован более математический подход к исследованию аффинной связности.
Аффинная связность рассматривается с точки зрения римановой геометрии. В приложении, написанном Робертом Германом, обсуждается мотивация с точки зрения теории поверхностей, а также понятие аффинной связности в современном смысле и основные свойства ковариантной производной.
  • Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 editions to 1922, with notes by Jürgen Ehlers (1980), translated 4th edition Space, Time, Matter by Henry Brose, 1922 (Methuen, reprinted 1952 by Dover) ed.), Springer, Berlin, ISBN 0-486-60267-2 

Современная литература[править | править код]

  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецк: Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
  • Постников М. М. Гладкие многообразия (Лекции по геометрии. Семестр III).

См. также[править | править код]