Ласточкин хвост (поверхность)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ла́сточкин хвост (англ. swallow tail) — нерегулярная поверхность (стратифицированное многообразие) в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами.

Поверхность ласточкин хвост была подробно изучена Кронекером в 1878 году, она встречается также в работах Кэли того же времени, посвящённых особенностям распространяющихся волновых фронтов и каустик[1]. Ласточкин хвост находит многочисленные применения в теории катастроф и теории бифуркаций. В частности, он является поверхностью критических значений (образом множества критических точек) одного из устойчивых ростков гладких отображений .

«Ласточкин хвост» и его сечения плоскостями

Определение

[править | править код]

Рассмотрим многочлен от переменной , зависящий от коэффициентов (и переменная, и коэффициенты предполагаются вещественными). Каждой тройке коэффициентов однозначно соответствует многочлен , а также точка в пространстве с декартовыми координатами . Тогда «ласточкин хвост» определяется как поверхность в пространстве с координатами , точкам которой соответствуют многочлены , имеющие кратные корни.

Поверхность имеет особенность в виде ребра возврата и линии самопересечения, при этом ребро возврата имеет вид полукубической параболы, имеющей особенность в виде точки возврата (каспа). Поверхность разбивает пространство на три области, соответствующие числу вещественных корней многочлена . Именно, в области, имеющей вид криволинейной пирамиды, ребрами которой являются линия самопересечения и две ветви полукубической параболы, имеет 4 вещественных корня; в прилегающей к ней области — два и в оставшейся области — нуль.

Параметрическое задание

Пользуясь данным определением, можно получить формулу, задающую ласточкин хвост параметрически. Именно, условие кратного корня многочлена дает систему из двух уравнений:

откуда нетрудно выразить переменные через :

Вводя в пространстве коэффициентов многочлена новые координаты , рассматривая переменные в правой части полученных уравнений как параметры: , и дополняя полученную систему из двух уравнений тривиальным третьим уравнением , получаем параметрическую запись:

В искусстве

[править | править код]

В 1983 году испанский художник Сальвадор Дали под впечатлением от работ французского математика Рене Тома в области теории катастроф написал картину «Ласточкин хвост» (англ. The Swallow's Tail[англ.]), представляющую собой простую каллиграфическую композицию на светлом фоне, в центре которой изображено сечение поверхности в пространстве плоскостью  — кривая с точкой самопересечения и двумя полукубическими точками возврата. На этой картине, ставшей последним произведением художника, можно видеть также кубическую параболу, стилизованные знаки интеграла и фрагменты музыкальных инструментов[2] [3] [4][5].

Литература

[править | править код]
  • Арнольд В. И. Теория катастроф, — Любое издание.
  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.
  • Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
  • В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.
  • Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.

Примечания

[править | править код]
  1. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей. — стр. 8.
  2. Ласточкин хвост — последнее произведение Сальвадора Дали Архивная копия от 11 января 2013 на Wayback Machine.
  3. Теория катастроф 1979 - 1983 Архивная копия от 19 февраля 2017 на Wayback Machine.
  4. The Swallow’s Tail
  5. Dalí, Salvador, ‘Gala, Velásquez and the Golden Fleece’ (9 May 1979). Reproduced in-part in Robert Descharnes, Dalí, the Work, the Man (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Originally published in French as Dalí, l’oeuvre et l’homme (Lausanne: Edita, 1984).