Матрица Коши (линейная алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, матрица Коши (названа в честь Огюстена Луи Коши) — это m×n-матрица с элементами вида:

где и являются элементами поля , а последовательности и таких элементов являются инъективными (не содержат повторяющихся элементов).

Матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши при

Каждая подматрица (матрица, получающаяся вычёркиванием определённой строки и столбца) матрицы Коши также является матрицей Коши.

Определители Коши[править | править вики-текст]

Определитель квадратной матрицы Коши является заведомо рациональной функцией параметров и . Если эти последовательности не инъективны, то определитель равен нулю. Если некоторые стремятся к , то определитель стремится к бесконечности. Таким образом, часть множества нулей и полюсов определителя Коши заранее известна. На самом деле, других нулей и полюсов нет.

Явный вид определителя квадратной матрицы Коши A, называемый просто определитель Коши:

    (Schechter 1959, eqn 4).

Он всегда не равен нулю, таким образом, матрицы Коши являются обратимыми. Обратная матрица A−1 = B = [bij] имеет вид:

    (Schechter 1959, Theorem 1)

где Ai(x) и Bi(x) — многочлены Лагранжа для последовательностей и , соответственно. То есть

и

где

и

Обобщение[править | править вики-текст]

Матрица C называется матрицей типа Коши, если она имеет вид

Обозначив X=diag(xi), Y=diag(yi), получим, что матрицы типа Коши (в частности, просто матрицы Коши) удовлетворяют смещённому уравнению:

(в случае матриц Коши ). Следовательно матрицы типа Коши имеют общую смещённую структуру, что может быть использовано при работе с такими матрицами. Например, известны алгоритмы для

  • приближённого умножения матрицы Коши на вектор за операций,
  • LU-разложение за операций (алгоритм GKO), и соответствующий алгоритм решения систем линейных уравнений с такими матрицами,
  • неустойчивые алгоритмы для решения систем линейных уравнений за операций.

Через обозначен размер матрицы (обычно имеют дело с квадратными матрицами, хотя все вышеприведённые алгоритмы легко могут быть обобщены на прямоугольные матрицы).

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]