Метод Годунова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод Годунова — реализация схем сквозного счета, с помощью которых можно рассчитывать газодинамические течения с разрывами параметров внутри расчётной области. Метод Годунова — это вариант метода контрольного объёма. Потоки через боковые грани определяются из решения задачи о распаде произвольного разрыва. Поясним на примере.


Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим построение численного метода Годунова первого порядка точности на примере решения системы уравнений одномерной нестационарной газовой динамики, записанной в дивергентной форме:

Здесь:

Заметим, что:

Дифференциальная форма[править | править вики-текст]

Начальная система может быть записана в более компактной форме:

где:

  •  — вектор консервативных переменных
  •  — вектор потоков


Интегральная форма[править | править вики-текст]

Вместо дифференциальной формы уравнений выведем новую интегральную форму уравнений, более приспособленную для представления слабого решения. Здесь под слабым решением понимается обобщённая функция, определяемая интегральными равенствами, полученными из соответствующих дифференциальных уравнений и начальных условий задачи. Для этого выделим некоторый контрольный объём и проинтегрируем систему уравнений по этому объёму. Применим обобщённую теорему Стокса к полученному интегралу от дивергенции (при двух независимых переменных это будет теорема Грина, и формула Остроградского-Гаусса в трёхмерном пространстве). При этом введем направление обхода контура против часовой стрелки.


Отдельно, рассматривая уравнение неразрывности, получаем:

Для всей системы уравнений

Записывая систему в развернутом виде:

Аппроксимация[править | править вики-текст]

Произведен переход от дифференциальной формы записи исходной системы уравнений к интегральной форме. Интегральная форма записывается в виде равенства нулю интегралов по контуру (границе выделенного контрольного объёма) от векторов консервативных переменных и потоков. Контурный интеграл представляем в виде суммы интегралов по участкам (интервалам) 1-2, 2-3, 3-4, 4-1 контрольного объёма на рисунке (которого пока нет) и на каждом участке аппроксимируем интеграл с использованием метода прямоугольников как произведение подынтегрального выражения в центре интервала на длину интервала интегрирования:

с учётом равенств, справедливых для контрольного объёма, построенного по декартовой расчётной сетке:

кроме того:

находим значения вектора консервативных переменных на интервале 3-4, принадлежащем новому слою:

В данном случае величинами с полуцелыми индексами обозначены потоки сохраняемых величин через границы расчётной ячейки за время или потоки через боковые грани (2-3 и 4-1) контрольного объёма. Если скорость потока направлена в одну сторону с внешней нормалью к боковой грани, то поток отрицательный, то есть вытекает из контрольного объёма и наоборот.

В развернутом виде:

Потоки через боковые грани, и определяются из решения задачи о распаде произвольного разрыва.

Постановка граничных условий[править | править вики-текст]

Особенностью постановки и реализации граничных условий в методах контрольного объёма (в том числе и в методе Годунова) является необходимость задания или расчета потоков через грань контрольного объёма, совпадающую границей расчётной области. Для первой и последней ячеек расчётного слоя надо определить потоки массы, импульса и энергии через грани.

Часто для задания граничных условий вводятся «виртуальные» расчётные ячейки. Для этого слева от первой ячейки и справа от последней ячейки вводится ещё по одной дополнительной ячейке, в каждой из которых задаются такие параметры течения, чтобы при решении задачи Римана на боковой грани моделировались требуемые потоки.

Типы граничных процедур[править | править вики-текст]

Все предположения производятся относительно левой границы

Неподвижная жесткая стенка[править | править вики-текст]

Главное условие — отсутствие перетекания потока массы газа через границу, что соответствует условию нулевой скорости потока на данной грани В виртуальной ячейке тогда нужно задать следующие параметры течения:

  • «w» — параметры в виртуальной ячейке
  • «1» — параметры в первой ячейке

Получаемые в задаче распада разрыва параметры течения на боковой грани реализуют нулевой поток массы через эту грань.

Резервуар неограниченной ёмкости[править | править вики-текст]

Этому случаю математически соответствует задание на грани значение давления . Скорость втекания можно определить по формуле

При этом:

  • если , то
  • если , то

Втекающий сверхзвуковой поток[править | править вики-текст]

Пусть верхнее подчеркивание обозначает параметры сверхзвукового потока, тогда, если , то

Вытекающий сверхзвуковой поток[править | править вики-текст]

При этом в виртуальной ячейке задаются следующие параметры течения:

Выбор параметров сетки[править | править вики-текст]

Шаг расчётной сетки по временной координате в методе Годунова можно определить из критерия устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви. Применительно к рассматриваемой схеме это условие формулируется следующим образом:

Волны, возникающие в задаче распада произвольного разрыва в точке , не должны за время достигать боковых граней и и искажать автомодельное решение.

Реализация этого принципа приводит к следующим соотношениям:

где

  •  — значение скорости самой левой волны в распаде разрыва;
  •  — значение скорости самой правой волны в распаде разрыва;

В итоге мы берем:


Литература[править | править вики-текст]

  • Численное решение многомерных задач газовой динамики. Альбом / редактор Годунов С. К. . — М.: Наука, 1976. — 400 с. — 6500 экз.
  • Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука, 1992. — 2470 экз.

Ссылки[править | править вики-текст]