Метод прямоугольников

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников равен 1).

Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

  1. Формуле левых прямоугольников:
  2. Формуле правых прямоугольников:
  3. Формуле прямоугольников (средних):

Составные квадратурные формулы[править | править код]

В случае разбиения отрезка интегрирования на элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

  1. Для левых прямоугольников:
  2. Для правых прямоугольников:
  3. Для средних прямоугольников:

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.


Метод средних прямоугольников

Составные формулы для равномерных сеток[править | править код]

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

где  — шаг сетки.

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

  1. Составная формула левых прямоугольников:
  2. Составная формула правых прямоугольников:
  3. Составная формула средних прямоугольников: Т.е. соответствует формуле трапеций.

Погрешность метода[править | править код]

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

Для формулы прямоугольников (средних)

Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

Для составной формулы прямоугольников:

Пример реализации[править | править код]

Формула средних прямоугольников для аналитически заданной функции, написанная на С

double InFunction(double x) { //Подынтегральная функция
  return sin(x);
}

double CalcIntegral(double a, double b, int n) {
  double result = 0, h = (b - a) / n;
  
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    result += InFunction(a + h * (i + 0.5));
  }
  
  result *= h;
  return result;
}

См. также[править | править код]