Метод обратного преобразования

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ме́тод обра́тного преобразова́ния (Преобразование Н. В. Смирнова) — способ генерации случайных величин с заданной функцией распределения, путём модификации работы генератора равномерно распределённых чисел.

Описание алгоритма[править | править вики-текст]

Пусть является функцией произвольного распределения. Покажем как, имея генератор выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, получить выборку из распределения, задаваемого функцией распределения .

Строго возрастающая функция распределения[править | править вики-текст]

Если функция строго возрастает на всей области определения, то она биективна, а следовательно имеет обратную функцию .

  • Пусть — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
  • Тогда , где , — выборка из интересующего нас распределения.

Пример[править | править вики-текст]

Пусть требуется сгенерировать выборку из экспоненциального распределения с параметром . Функция этого распределения строго возрастает, и её обратная функция имеет вид . Таким образом, если — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения, то , где

— искомая выборка из экспоненциального распределения.

Неубывающая функция распределения[править | править вики-текст]

Если функция лишь не убывает, то её обратная функция может не существовать. В таком случае необходимо модифицировать приведённый выше алгоритм.

  • Пусть — выборка из стандартного непрерывного равномерного распределения.
  • Тогда , где , — выборка из интересующего нас распределения.

Замечания[править | править вики-текст]

  • Если строго возрастает, то . Таким образом, модифицированный алгоритм для произвольной функции распределения включает в себя отдельно разобранный случай строго возрастающей функции распределения.
  • Несмотря на кажущуюся универсальность, данный алгоритм имеет серьёзные практические ограничения. Даже если функция распределения строго возрастает, вычислить её обратную не всегда просто, особенно если она не задана в виде элементарной функции, как, например, в случае нормального распределения. В случае функции распределения общего вида чаще всего необходимо численно находить точную нижнюю грань, что может быть очень трудоёмко.

Математическое обоснование[править | править вики-текст]

Пусть , то есть . Рассмотрим функцию распределения случайной величины .

.

То есть имеет функцию распределения .

Литература[править | править вики-текст]

Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. - СПб.: Наука, 2001, 295 с.