Многогранник Ханнера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Куб и двойственный ему октаэдр — два трёхмерных многогранника Ханнера.
Четырёхмерная восьмигранная призма — первый пример неправильного многогранника Ханнера.

Многогранники Ханнера — класс выпуклых многогранников, которые можно получить рекурсивно из отрезка при помощи двух операций: взятие прямого произведения и переход к двойственному многограннику.

Названы в честь Олофа Ханнера[en], который рассмотрел их в 1956 году.[1]

Построение[править | править код]

Многогранники Ханнера образуют минимальный класс многогранников, удовлетворяющий следующим условиям:[2]

  • Отрезок прямой является одномерным многогранником Ханнера.
  • Прямое произведение двух многогранников Ханнера является многогранником Ханнера. (Его размерность равна сумме размерностей двух исходных многогранников.)
  • Многогранник двойственный к многограннику Ханнера является многогранником Ханнера. (Этот многогранник имеет ту же размерность, что и исходный.)

Замечания[править | править код]

  • Вместо операции перехода к двойственному многограннику можно брать выпуклую оболочку объединения многогранников, находящихся в перпендикулярных подпространствах.[3][4]

Примеры[править | править код]

  • Квадрат — это многогранник Ханнера как прямое произведение двух отрезков.
  • Куб — это многогранник Ханнера как прямое произведение трех отрезков.
  • Октаэдр — также многогранник Ханнера как многогранник, двойственный к кубу.

В размерности три любой многогранник Ханнера комбинаторно эквивалентен одному из этих двух видов многогранников.[5] В высших измерениях аналоги куба и октаэдра, гиперкубы и гипероктаэдры, также являются многогранниками Ханнера. Однако есть и другие примеры. В частности восьмигранная призма — четырёхмерная призма с основанием октаэдр. Она является многогранником Ханнера, как произведение октаэдра на отрезок.

Свойства[править | править код]

  • Любой многогранник Ханнера комбинаторно эквивалентен многограннику с координатами любой вершины, принимающей значения 0, 1 или −1.[6]
  • Противоположные грани многогранника Ханнера не пересекаются, и вместе содержат все вершины многогранника.
    • В частности, выпуклая оболочка двух таких граней есть весь многогранник.[6][7]
      • Как следствие из этого факта, все грани многогранника Ханнера имеют одинаковое число вершин.
        • Однако грани могут не быть изоморфны друг другу. Например, в восьмигранной призмы две грани октаэдра, а остальные восемь граней — треугольных призм.
    • Двойственное свойство состоит в том, что противоположные вершины смежны со всеми гранями многогранника.
  • Объём Малера, то есть произведение объёмов самого многогранника и его двойственного, для многогранника Ханнера то же, что у куба.
    • Гипотеза Малера состоит в том, что среди центрально-симметричных выпуклых тел этот объём достигает минимума на многогранниках Ханнера.[8]

Ссылки[править | править код]

  1. Hanner, Olof (1956), Intersections of translates of convex bodies, Mathematica Scandinavica Т. 4: 65–87 .
  2. Freij, Ragnar (2012), Topics in algorithmic, enumerative and geometric combinatorics, Ph.D. thesis, Department of Mathematical Sciences, Chalmers Institute of Technology, <http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/156428.pdf> .
  3. 1 2 Kalai, Gil (1989), The number of faces of centrally-symmetric polytopes, Graphs and Combinatorics Т. 5 (1): 389–391, DOI 10.1007/BF01788696 .
  4. 1 2 Sanyal, Raman; Werner, Axel & Ziegler, Günter M. (2009), On Kalai's conjectures concerning centrally symmetric polytopes, Discrete & Computational Geometry Т. 41 (2): 183–198, DOI 10.1007/s00454-008-9104-8 /
  5. Kozachok, Marina (2012), Perfect prismatoids and the conjecture concerning with face numbers of centrally symmetric polytopes, Yaroslavl International Conference "Discrete Geometry" dedicated to the centenary of A.D.Alexandrov (Yaroslavl, August 13-18, 2012), P.G. Demidov Yaroslavl State University, International B.N. Delaunay Laboratory, с. 46–49, <http://bsg.uniyar.ac.ru/sites/default/files/papers/Alexandrov2012Thesis.pdf#page=46>  (недоступная ссылка).
  6. 1 2 Reisner, S. (1991), Certain Banach spaces associated with graphs and CL-spaces with 1-unconditional bases, Journal of the London Mathematical Society, Second Series Т. 43 (1): 137–148, DOI 10.1112/jlms/s2-43.1.137 .
  7. Martini, H.; Swanepoel, K. J. & de Wet, P. Oloff (2009), Absorbing angles, Steiner minimal trees, and antipodality, Journal of Optimization Theory and Applications Т. 143 (1): 149–157, DOI 10.1007/s10957-009-9552-1 .
  8. Kim, Jaegil (2014), Minimal volume product near Hanner polytopes, Journal of Functional Analysis Т. 266 (4): 2360–2402, DOI 10.1016/j.jfa.2013.08.008 .