Треугольная призма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В геометрии треугольная призма — это призма с тремя боковыми гранями. Этот многогранник имеет в качестве граней треугольное основание, его копию, полученную в результате параллельного переноса и 3 грани, соединяющие соответствующие стороны[en]. Прямая треугольная призма имеет прямоугольные боковые стороны, в противном случае призма называется косой.

Однородная треугольная призма — это прямая треугольная призма с равносторонним основанием и квадратными боковыми сторонами.

Призма является пятигранником, у которого две грани параллельны, в то время как нормали трёх других лежат в одной плоскости (которая не обязательно параллельна основаниям). Эти три грани являются параллелограммами. Все сечения, параллельные основаниям, являются одинаковыми треугольниками.

Полуправильный (однородный) многогранник[править | править код]

Прямая треугольная призма является полуправильным многогранником или, более обще, однородным[en] многогранником, если основание является правильным треугольником, а боковые стороны — квадратами.

Этот многогранник можно рассматривать как усечённый треугольный осоэдр, представленный символом Шлефли t{2,3}. Его также можно рассматривать как прямое произведение треугольника на отрезок, что представляется как {3}x{}. Двойственным многогранником треугольной призмы является треугольная бипирамида.

Группой симметрии прямой призмы с треугольным основанием является D3h порядка 12. Группой вращения служит D3 с порядком 6. Группа симметрии не содержит центральную симметрию.

Объём[править | править код]

Объём любой призмы равен произведению площади основания на расстояние между основаниями. В нашем случае, когда основание треугольно, нужно просто вычислить площадь треугольника и умножить на длину призмы:

где b — длина стороны основания, h равна высоте треугольника, а l равна расстоянию между треугольниками.

Усечённая треугольная призма[править | править код]

Усечённая прямая треугольная призма имеет одну усечённую треугольную грань[1].

TruncatedTriangularPrism.png

Гранение[править | править код]

Имеется полная D2h симметрия гранений[en] (удаление части многогранника, не создавая новые вершины, пересечение рёбер новоё вершиной не считается) треугольной призмы. Получающиеся многогранники имеются многогранники с 6 гранями в виде равнобедренного треугольника, один многогранник сохраняет исходные верхний и нижний треугольники, и один сохраняет исходные квадраты. Две симметрии гранения C3v имеют один базовый треугольник, 3 грани в виде боковых самопересекающихся квадратов и 3 грани в виде равнобедренных треугольников.

Выпуклые Гранение
Симметрия D3h Симметрия C3v
Triangular prism.png FacetedTriangularPrism2.png FacetedTriangularPrism.png FacetedTriangularPrism3.png FacetedTriangularPrism4.png
2 {3}
3 {4}
3 {4}
6 () v { }
2 {3}
6 () v { }
1 {3}
3 t'{2}[en]
6 () v { }
1 {3}
3 t'{2}[en]
3 () v { }

Связанные многогранники и мозаики[править | править код]

Семейство правильных призм
Многоугольник Triangular prism.png Tetragonal prism.png Pentagonal prism.png Hexagonal prism.png Prism 7.png Octagonal prism.png Prism 9.png Decagonal prism.png Hendecagonal prism.png Dodecagonal prism.png Heptadecagonal Prism.svg Circular cylinder rh.svg
Мозаика Spherical triangular prism.png Spherical square prism.png Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism.png Spherical decagonal prism.png Infinite prism tiling.png
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 17.4.4 ∞.4.4
Семейство выпуклых куполов
n 2 3 4 5 6
Название {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6}
Купол Triangular prism wedge.png
Диагональный купол
Triangular cupola.png
Трёхскатный купол
Square cupola.png
Четырёхскатный купол
Pentagonal cupola.png
Пятискатный купол[en]
Hexagonal cupola flat.png
Шестискатный купол
(плоский)
Связанные
однородные
многогранники
Треугольная призма
CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Кубооктаэдр
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбокубо-
октаэдр

CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромбоикосо-
додекаэдр

CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Ромботри-
шестиугольная
мозаика
[en]

CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

Варианты симметрии[править | править код]

Этот многогранник топологически является частью последовательности однородных усечённых многогранников с вершинными конфигурациями[en] (3.2n.2n) и имеющими симметрию [n,3] группы Коксетера.

Этот многогранник топологически является частью последовательности рёберно усечённых[en] многогранников с вершинной фигурой (3.4.n.4), которая продолжается как умощения гиперболической плоскости[en]. Эти вершинно-транзитивные[en] фигуры имеют зеркальную симметрию[en] (*n32).

Составные тела[править | править код]

Имеется 4 однородных составных тела из треугольных призм:

Соты[править | править код]

Существует 9 однородных сот, которые включают треугольные призмы:

Связанные многогранники[править | править код]

Треугольная призма является первой в пространственной серии полуправильных многогранников[en]. Каждый последующий однородный многогранник[en] имеет в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[en] обнаружил эту серию в 1900 году как содержащую все виды граней правильных многомерных многогранников, содержащую все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты в случае треугольной призмы). В нотации Коксетера[en] треугольной призме соответствует символ −121.

Четырёхмерное пространство[править | править код]

Треугольная призма существует как ячейка в большом числе четырёхмерных однородных четырёхмерных многогранников[en], включая:

тетраэдральная призма[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
октаэдральная призма[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
кубооктаэдрическая призма[en]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
икосаэдральная призма[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
икосододекаэдральная призма[en]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
усечённая додекаэдральная призма[en]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Tetrahedral prism.png Octahedral prism.png Cuboctahedral prism.png Icosahedral prism.png Icosidodecahedral prism.png Truncated dodecahedral prism.png
Ромбоикосидодекаэдральная призма[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Ромбокубоктаэдральная призма[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Усечённая кубическая призма[en]
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Плосконосая додекаэдральная призма[en]
CDel node h.pngCDel 5.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
n-угольная антипризматическая призма[en]
CDel node h.pngCDel n.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Rhombicosidodecahedral prism.png Rhombicuboctahedral prism.png Truncated cubic prism.png Snub dodecahedral prism.png Square antiprismatic prism.png
Рёберноусечённая 5-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Кантиусечённая 5-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Рансинированная 5-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансиусечённая 5-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Cantellated tesseract
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Кантиусечённый тессеракт[en]
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Рансинированный тессеракт[en]
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансиусечённый тессеракт[en]
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
4-simplex t02.svg 4-simplex t012.svg 4-simplex t03.svg 4-simplex t013.svg 4-cube t02.svg 4-cube t012.svg 4-cube t03.svg 4-cube t013.svg
Кантелированная 24-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Кантиусечённая 24-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Рансинированная 24-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансиусечённая 24-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Кантелированная 120-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Кантиусечённая 120-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Рансинированная 120-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Рансиусечённая 120-ячейка[en]
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
24-cell t02 F4.svg 24-cell t012 F4.svg 24-cell t03 F4.svg 24-cell t013 F4.svg 120-cell t02 H3.png 120-cell t012 H3.png 120-cell t03 H3.png 120-cell t013 H3.png

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. William F. Kern, James R Bland,Solid Mensuration with proofs, 1938, p.81

Ссылки[править | править код]