Многочлены Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Бернулли

В математике, Многочле́ны Берну́лли — многочлены, названные в честь Якоба Бернулли, возникающие при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица, также являются частным случаем последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени, многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.

Определение[править | править вики-текст]

Многочлены Бернулли можно определить различными способами. Выбор определения зависит от удобства в том или ином случае.

Явная формула[править | править вики-текст]

, где  — биномиальные коэффициенты,  — числа Бернулли.

Или

Производящая функция[править | править вики-текст]

Производящей функцией для многочленов Бернулли является

Представление дифференциальным оператором[править | править вики-текст]

, где оператор формального дифференцирования.

Явное выражение для небольших степеней[править | править вики-текст]

Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:

Свойства[править | править вики-текст]

Начальные значения[править | править вики-текст]

начальные значения многочленов Бернулли при равны соответствующим числам Бернулли:

.

Дифференцирование и интегрирование[править | править вики-текст]

Вычисляя производную от производящей функции:

.

Левая часть отличается от производящей функции только множителем , поэтому

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем:

, откуда
. (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).

Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:

.

Также бывает полезно свойство сбалансированности:

(при )

Теорема об умножении аргумента[править | править вики-текст]

Пусть m — произвольное натуральное число, тогда

Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:

.

Симметрия[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]