Многочлены Бернулли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многочлены Бернулли

В математике, Многочле́ны Берну́лли — многочлены, названные в честь Якоба Бернулли, возникающие при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица, также являются частным случаем последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале \ [0,1] не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени, многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.

Определение[править | править исходный текст]

Многочлены Бернулли \ B_n(x) можно определить различными способами. Выбор определения зависит от удобства в том или ином случае.

Явная формула[править | править исходный текст]

B_n(x) = \sum_{k=0}^n C_n^k B_{n-k} x^k, где C_n^k — биномиальные коэффициенты, \ B_k — числа Бернулли.

Или

B_n(x)= \sum_{m=0}^n \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m (-1)^k C_m^k (x+k)^n.

Производящая функция[править | править исходный текст]

Производящей функцией для многочленов Бернулли является

\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}.

Представление дифференциальным оператором[править | править исходный текст]

B_n(x)={D \over e^D -1} x^n, где Dоператор формального дифференцирования.

Явное выражение для небольших степеней[править | править исходный текст]

Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:

\ B_0(x)=1,
B_1(x)=x-\frac{1}{2},
B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6},
B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x,
B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},
B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x,
B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}.

Свойства[править | править исходный текст]

Начальные значения[править | править исходный текст]

начальные значения многочленов Бернулли при \ x=0 равны соответствующим числам Бернулли:

\ B_n(0)=B_n.

Дифференцирование и интегрирование[править | править исходный текст]

Вычисляя производную от производящей функции:

t e^{tx}\frac{1}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n.

Левая часть отличается от производящей функции только множителем \ t, поэтому

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B'_n(x)}{n!}t^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n(x)}{n!}t^{n+1}.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях \ t, получаем:

\frac{B'_n(x)}{n!}=\frac{B_{n-1}(x)}{(n-1)!}, откуда
\ B'_n(x)=n B_{n-1}(x). (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).

Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:

\ B_n(x)=B_n+n\int_0^x B_{n-1}(t)\,dt.

Также бывает полезно свойство сбалансированности:

\int_0^1B_n(x)dx=0 (при n>0 )

Теорема об умножении аргумента[править | править исходный текст]

Пусть — произвольное натуральное число, тогда


\sum_{n=0}^\infty B_n(mx) \frac{t^n}{n!}=\frac{t e^{mxt}}{e^t-1}= \frac{1}{m}e^{mxt}\frac{mt(1+e^t+\cdots+e^{(m-1)t})}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1}\frac{e^{\left(x+\frac{s}{m}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}=\frac{1}{m}\sum_{s=0}^{m-1}

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{B_n\left(x+\frac{s}{m}\right)m^n}{n!}t^n.

Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:

B_n(mx)= m^{n-1} \sum_{s=0}^{m-1} B_n \left(x+\frac{s}{m}\right).

Симметрия[править | править исходный текст]

\ B_n(1-x)=(-1)^nB_n(x),
\ (-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}.

Экстремумы[править | править исходный текст]

Разности[править | править исходный текст]

Теоремы сложения[править | править исходный текст]

Разложение произвольной функции по многочленам Бернулли[править | править исходный текст]

Ряд Фурье[править | править исходный текст]

Обращение[править | править исходный текст]

Связь с символом Похгаммера[править | править исходный текст]

Периодические многочлены Бернулли[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]