Неравенство Птолемея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Если 4 точки не лежат на одной окружности, то все три неравенства Птолемея строгие.

Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.

Формулировка[править | править код]

Для любых точек плоскости выполнено неравенство

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый вписанный четырехугольник или точки лежат на одной прямой.

Замечания[править | править код]

  • Случай равенства также называется тождеством Птолемея.

О доказательствах[править | править код]

Следствия[править | править код]

  • Теорема Помпею.[2] Рассмотрим точку и правильный треугольник . Тогда из отрезков , и можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка лежит на описанной окружности треугольника .
  • Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Соотношение Бретшнайдера
  • Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)[3]), то
Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда  — вписанный шестиугольник.
  • Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности и , касающиеся данной окружности в вершинах и выпуклого четырехугольника . Пусть  — длина общей касательной к окружностям и (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); и т. д. определяются аналогично. Тогда
.
Циклический граф, в котором все расстояния удовлетворяют неравенству Птолемея, называют графом Птолемея

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  2. О теореме Д. Помпейю. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  3. Теорема Птолемея
  4. Howorka, Edward (1981), "A characterization of Ptolemaic graphs (Характеризация графов Птолемея)", Journal of Graph Theory Т. 5 (3): 323–331, DOI 10.1002/jgt.3190050314 .

Литература[править | править код]