Неравенство Птолемея

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Неравенство Птолемея: Для любых точек плоскости выполнено неравенство

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

Идеи доказательства[править | править вики-текст]

Следствия[править | править вики-текст]

  • Теорема Помпею.[2] Рассмотрим точку и правильный треугольник . Тогда из отрезков , и можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка лежит на описанной окружности треугольника .
  • Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Соотношение Бретшнайдера
  • Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)[3]), то
Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда  — вписанный шестиугольник.
  • Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности и , касающиеся данной окружности в вершинах и выпуклого четырехугольника . Пусть  — длина общей касательной к окружностям и (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); и т. д. определяются аналогично. Тогда
.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Доказательство теоремы Птолемея с помощью инверсии. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  2. О теореме Д. Помпейю. Дистанционный консультационный пункт по математике МЦНМО.
  3. Теорема Птолемея

Литература[править | править вики-текст]