Инверсия (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кардиоида — инверсия параболы

Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности есть преобразование евклидовой плоскости, переводящее обобщённые окружности (окружности либо прямые) в обобщённые окружности, при котором одна из окружностей поточечно переводится в себя.

Определение[править | править вики-текст]

Инверсия

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность с центром (называемым полюсом или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом . Инверсия точки относительно есть точка , лежащая на луче такая, что

Инверсия переводит внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» и считают её инверсным образом , а  — инверсным образом . В этом случае инверсия является биективным преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы и инверсия в евклидовых пространствах более высоких размерностей.

Конические сечения[править | править вики-текст]

Также можно определить инверсию относительно произвольного невырожденного конического сечения, с той лишь разницей, что величина будет (переменным) расстоянием от центра соответствующей кривой (в случае эллипса и гиперболы) до точек пересечения этой кривой с прямой .

В случае инверсии относительно гиперболы, в зависимости от сектора, в котором находится точка между асимптотами, возможен случай, когда прямая не пересекается с гиперболой. Тогда для вычисления берётся точка пересечения этой прямой с сопряжённой гиперболой (если только точка не лежит на асимптоте), а соответствующая величина берётся со знаком минус, т.е. луч направляется в сторону, противоположную лучу .

Инверсия относительно параболы - это просто симметричное отражение относительно неё вдоль прямой, параллельной оси параболы.

Альтернативное определение - инверсия относительно конического сечения как середина хорды, высекаемой полярой точки относительно на . Однако в случае, когда соответствующая поляра не пересекает , для полноты определения приходится применять это, частичное, определение "в обратную сторону" ( - это такая точка, что является серединой хорды, высекаемой полярой на ), что не всегда удобно.

Свойства[править | править вики-текст]

Образ центра окружности не является центром образа

Инверсия относительно окружности с центром O обладает следующими основными свойствами:

  • Инверсия является инволюцией: если точка P переходит в точку Q, то и точка Q переходит в точку P.
  • Прямая, проходящая через O, переходит в себя.
  • Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O с выколотой точкой O; и обратно, окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O.
  • Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (при этом образ её центра не является центром образа).
  • Инверсия является конформным отображением второго рода (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).
  • Окружность или прямая, перпендикулярная к , переходит в себя.

Построение[править | править вики-текст]

Построение образа точки при инверсии относительно окружности

Получить образ P' точки P при инверсии относительно данной окружности с центром O можно следующим образом[1]:

  • Если расстояние от P до O больше радиуса окружности — провести из P касательную к окружности, тогда перпендикуляр к прямой OP из точки касания пересечёт эту прямую в искомой точке P'
  • Если расстояние от P до O меньше радиуса окружности — провести через P перпендикуляр к OP, а через точку его пересечения с окружностью — касательную к ней, которая пересечёт OP в искомой точке P'
  • Если расстояние от P до O равно радиусу окружности, образ P совпадёт с ней самой

Координатные представления[править | править вики-текст]

Декартовы координаты[править | править вики-текст]

Инверсия относительно единичной окружности с центром в начале координат задаётся соотношением

.

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой , то это выражение можно представить в виде

,

где  — комплексно сопряжённое число для . Данная функция комплексного переменного является антиголоморфной, откуда, в частности, следует конформность инверсии.

В общем случае инверсия относительно окружности с центром в точке и радиусом задаётся соотношением

.

Полярные координаты[править | править вики-текст]

Инверсия относительно окружности радиуса с центром в начале координат задаётся соотношением

.

Применение[править | править вики-текст]

С помощью инверсии можно решить известную задачу Аполлония, математически описать принцип действия механизма Липкина — Посселье.

(Теорема Мора — Маскерони) С помощью инверсии можно показать, что все построения, которые можно сделать с помощью циркуля и линейки, можно сделать с помощью одного циркуля (прямая считается построенной, если известны две её точки)[2][3]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 41—42. — 288 с.
  2. Жижилкин, 2009.
  3. Курант, 2000.

Ссылки[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «инверсия»