Признаки подобия треугольников

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Подобие треугольников»)
Перейти к: навигация, поиск

Подобные треугольники — треугольники, углы которых соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Признаки подобия треугольников[править | править вики-текст]

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.

Первый признак[править | править вики-текст]

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.


то есть: \triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1 \Leftrightarrow \angle A = \angle A_1,\ \angle B= \angle B_1.

Дано: \triangle ABC и \triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \angle B = \angle B_1.

Доказать: \triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.

Следствия первого признака подобия[править | править вики-текст]

  • Если три разные стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трем разным сходственным сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника с попарно параллельными (дважды антипараллельными или перпендикулярными) сторонами подобны. Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: "Примеры подобных треугольников" и "Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников".
  • Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника, то есть просто параллельны. Следовательно, подобны, например, ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник, как треугольники с параллельными сторонами.

Второй признак[править | править вики-текст]

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол в одном треугольнике, пропорциональны соответствующим сторонам другого, то такие треугольники подобны.


Дано: \triangle ABC и \triangle A_1 B_1 C_1,\ \angle A = \angle A_1,\ \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}. Доказать: \triangle ABC \sim \triangle A_1 B_1 C_1.

Третий признак[править | править вики-текст]

Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.


Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}.

Доказать: ∆ABC \sim ∆A1B1C1.

Признаки подобия прямоугольных треугольников[править | править вики-текст]

  1. По острому углу — см. первый признак;
  2. По двум катетам — см. второй признак;
  3. По катету и гипотенузе — см. третий признак.

Свойства подобных треугольников[править | править вики-текст]

Примеры подобных треугольников[править | править вики-текст]

Подобных следующие виды треугольников:

  • Дополнительный треугольник и антидополнительный треугольник подобны; соответственные их стороны параллельны.
  • Данный треугольник ABC подобен своему дополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 2:1.
  • Данный треугольник ABC подобен своему антидополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 1:2.
  • Исходный треугольник \Delta ABC по отношению к ортотреугольнику является треугольником трех внешних биссектрис[1].
  • Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, §66, с. 81).
  • Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
  • Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
  • Пусть, точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
  • Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности сторон родственных треугольников.
  • Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному[2]. Здесь использованы определения:
    • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.
    • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников[править | править вики-текст]

Подобие в прямоугольном треугольнике[править | править вики-текст]

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
  • Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.:
  • Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]