Компактное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Компактное множество»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Компа́ктное простра́нство — определённый тип топологических пространств, обобщающий свойства ограниченности и замкнутости в евклидовых пространствах на произвольные топологические пространства.

В общей топологии компактные пространства по своим свойствам напоминают конечные множества в теории множеств.

История[править | править код]

Бикомпактное пространство — понятие, введённое Александровым в усиление определённого Морисом Фреше понятия компактного пространства: топологическое пространство компактно — в первоначальном смысле слова — если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное подпокрытие[1]. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие бикомпактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно-компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам.

Определение[править | править код]

Компактное пространство — топологическое пространство, в любом покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.

Примеры компактных множеств[править | править код]

  • Замкнутые ограниченные множества в .
  • Конечные подмножества топологических пространств.
  • Теорема Асколи — Арцела даёт характеризацию компактных множеств для некоторых функциональных пространств. Рассмотрим пространство вещественных функций на метрическом компактном пространстве с нормой . Тогда замыкание множества функций в компактно тогда и только тогда, когда равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.
  • Пространство Стоуна булевых алгебр.
  • Компактификация топологического пространства.

Связанные определения[править | править код]

  • Подмножество топологического пространства T, являющееся в индуцированной T топологии компактным пространством, называется компактным множеством.
  • Множество называется предкомпактным (или компактным относительно T), если его замыкание в T компактно[2].
  • Пространство называется секвенциально компактным, если из любой последовательности в нём можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
  • Локально компактное пространство — топологическое пространство, в котором любая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.
  • Ограниченно компактное пространство — метрическое пространство, в котором все замкнутые шары компактны.
  • Псевдокомпактное пространство — тихоновское пространство, в котором каждая непрерывная вещественная функция ограниченна.
  • Счётно компактное пространство — топологическое пространство, в любом счётном покрытии которого открытыми множествами найдётся конечное подпокрытие.
  • Слабо счётно компактное пространство — топологическое пространство, в котором любое бесконечное множество имеет предельную точку.
  • H-замкнутое пространство  — хаусдорфово пространство, замкнутое в любом объемлющем его пространстве[3][4].

Термин «компакт» иногда используется для метризуемого компактного пространства, но иногда просто как синоним к термину «компактное пространство». Также «компакт» иногда используется для хаусдорфова компактного пространства[5]. Далее, мы будем использовать термин «компакт» как синоним к термину «компактное пространство».

«Компактный» и «квази-компактный»[править | править код]

Французское слово фр. compact является ложным другом переводчика: оно означает не «компактный», а «компактный и хаусдорфов». Компактные пространства, априори не являющиеся хаусдорфовыми, по-французски называются фр. quasi-compact. Такое словоупотребление было введено в трактатах Бурбаки. В других языках оно не является общепринятым, за исключением трудов по абстрактной алгебраической геометрии. Базовый объект абстрактной алгебраической геометрии, спектр кольца, всегда компактное пространство, но почти никогда не хаусдорфово; из-за влиятельности трудов Гротендика, опиравшегося на Бурбаки, в текстах по абстрактной алгебраической геометрии слово квази-компактный, вообще-то несообразное с традицией, иногда допускается[6][нет в источнике].

Свойства[править | править код]

  • Свойства, равносильные компактности:
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждое центрированное семейство замкнутых множеств, то есть семейство, в котором пересечения конечных подсемейств не пусты, имеет непустое пересечение[7].
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая направленность в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый фильтр в нём имеет предельную точку.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр сходится по крайней мере к одной точке.
    • Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда в нём всякое бесконечное подмножество имеет хотя бы одну точку полного накопления в .
  • Другие общие свойства:
  • Свойства компактных метрических пространств:
    • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда любая последовательность точек в нём содержит сходящуюся подпоследовательность.
    • Теорема Хаусдорфа о компактности даёт необходимые и достаточные условия компактности множества в метрическом пространстве.
    • Для конечномерных евклидовых пространств подпространство является компактом тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто. Про пространства, обладающие таким свойством, говорят, что они удовлетворяют свойству Гейне — Бореля[9].
    • Лемма Лебега: для любого компактного метрического пространства и открытого покрытия существует положительное число такое, что любое подмножество, диаметр которого меньше , содержится в одном из множеств . Такое число называется числом Лебега.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Бикомпактное пространство, математическая энциклопедия
  2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Издание 6-е, исправленное. Москва, Наука, 1989 (стр. 123)
  3. 1 2 3 Келли, с. 209
  4. 1 2 3 H-замкнутое пространство — статья из математической энциклопедии. В. И. Пономарёв.
  5. Энгелькинг, с.208
  6. Б. К. Завьялов. Группа Брауэра и расширения полей II. Вопрос 1., 2017
  7. См. также Лемма о вложенных отрезках
  8. Энгелькинг, с.210
  9. См. также Теорема Больцано — Вейерштрасса#Теорема Больцано — Вейерштрасса и понятие компактности

Литература[править | править код]