Окружность Аполлония

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Окружности Аполлония. Каждая голубая окружность пересекает каждую красную под прямым углом. Каждая красная окружность проходит через две точки (C и D) и каждая голубая окружность окружает только одну из этих точек

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Построение[править | править код]

Пусть на плоскости даны две точки и . Рассмотрим все точки этой плоскости, для каждой из которых отношение

,

есть фиксированное положительное число. При эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола, постоянной суммы — эллипс, постоянного произведения — овал Кассини.

Свойства[править | править код]

  • Радиус окружности Аполлония равен
  • Отрезок между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой является биссектрисой самого угла или угла, смежного с ним.
  • Инверсия относительно окружности Аполония меняет точки и местами.
  • Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствах[править | править код]

  • Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилижащим к ней сторонам.[1]
  • Существует доказательство основанное на свойстве инверсии.[2]
  • Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах

Приложения[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]