Сетка Аполлония

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример сетки Аполлония

Сетка Аполлонияфрактал, строящийся по трём попарно касающимся окружностям. Представляет собой предельное множество всевозможных последовательностей окружностей, каждая из которых касается трёх уже построенных. Назван в честь греческого математика Аполлония Пергского.

Построение[править | править код]

Начнём с трех окружностей, каждая из которых является касательной к двум другим. Далее добавляем к имеющейся фигуре рекурсивно окружности, каждая из которых касается каких-нибудь трёх уже построенных окружностей. На первом шаге мы добавим две, на втором шесть, и так далее.

Продолжая построение, мы добавляем 2·3n новых окружностей на  n-м шаге.

Замыкание построенных окружностей называется сеткой Аполлония.

Свойства[править | править код]

  • Сетка Аполлония имеет Хаусдорфову размерность около 1,3057[1].
  • Сетку Аполлония можно представить как объединение двух подмножеств, гомеоморфных треугольнику Серпинского, с общими вершинами.
  • Подгруппа группы преобразований Мёбиуса, состоящая из таких преобразований, которые переводят сетку Аполлония в себя, действует транзитивно на окружностях сетки.
  • Сетку Аполлония можно определить как предельное множество группы преобразований плоскости образованной инверсиями в четырёх попарно касательных окружностях.

Кривизны[править | править код]

Кривизна окружности определяется как обратное к его радиусу.

  • Отрицательная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются эту окружность изнутри. Это ограничивающая окружность.
  • Нулевая кривизна дает линию (круг с бесконечным радиусом).
  • Положительная кривизна указывает на то, что все другие круги касаются эту окружность снаружи. Этот круг находится внутри круга с отрицательной кривизной.

В сетке Аполлония все окружности имеют положительную кривизну, кроме одной, ограничивающей окружности.

Целые сетки Аполлония[править | править код]

Предположим, обозначают кривизны четырёх попарно касающихся окружностей. По теореме Декарта

Отсюда следует, что если четыре попарно касающиеся окружности имеют целые кривизны, то и все остальные окружности в их сетке Аполлония имеют целые кривизны. Имеется бесконечно много таких целых сеток. [2] Ниже приведены несколько целых сеток с отмеченными кривизнами окружностей.

Вариации и обобщения[править | править код]

Пространственная сетка Аполлония

Трёхмерный эквивалент сетки Аполлония — Аполлониева упаковка сфер.

Примечания[править | править код]

  1. Curtis T. McMullen. Hausdorff Dimension and Conformal Dynamics, III: Computation of Dimension // American Journal of Mathematics. — Vol. 120. — P. 691—721. — DOI:10.1353/ajm.1998.0031.
  2. Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks, and Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory", J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.