Эллиптические координаты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Эллиптическая система координат

Эллиптические координаты — двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями являются конфокальные эллипсы и гиперболы. За два фокуса и обычно берутся точки и на оси декартовой системы координат.

Основное определение[править | править вики-текст]

Эллиптические координаты обычно определяются по правилу:

где , .

Таким образом определяется семейство конфокальных эллипсов и гипербол. Тригонометрическое тождество

показывает, что линии уровня являются эллипсами, а тождество из гиперболической геометрии

показывает, что линии уровня являются гиперболами.

Коэффициенты Ламэ[править | править вики-текст]

Коэффициенты Ламэ для эллиптических координат равны

Тождества для двойного угла позволяют привести их к виду

Элемент площади равен:

а лапласиан равен

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат. Например, градиент скалярного поля записывается:

где

,
.

Другое определение[править | править вики-текст]

Иногда используется другое более геометрически интуитивное определение эллиптических координат :

Таким образом, линии уровня являются эллипсами, а линии уровня являются гиперболами. При этом

Координаты имеют простую связь с расстояниями до фокусов и . Для любой точки на плоскости

где  — расстояния до фокусов соответственно.

Таким образом:

Напомним, что и находятся в точках и соответственно.

Недостатком этой системы координат является то, что она не отображается взаимно однозначно на декартовы координаты:

Коэффициенты Ламэ[править | править вики-текст]

Коэффициенты Ламэ для альтернативных эллиптических координат равны:

Элемент площади равен

а лапласиан равен

Прочие дифференциальные операторы могут быть получены подстановкой коэффициентов Ламэ в общие формулы для ортогональных координат.


Литература[править | править вики-текст]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.

См. также[править | править вики-текст]