Решение Керра — Ньюмена

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 ⛭  Общая теория относительности
Гравитация
Математическая формулировка
Космология
См. также: Портал:Физика

Реше́ние Ке́рра — Нью́мена — точное решение уравнений Эйнштейна, описывающее невозмущённую электрически заряженную вращающуюся чёрную дыру без космологического члена. Астрофизическая значимость решения неясна, так как предполагается, что встречающиеся в природе коллапсары не могут быть существенно электрически заряжены.

Форма решения и его свойства[править | править вики-текст]

Трёхпараметрическое семейство Керра — Ньюмена — наиболее общее решение, соответствующее конечному состоянию равновесия не возмущаемой внешними полями чёрной дыры (согласно теоремам об «отсутствии волос» для известных физических полей). В координатах Бойера — Линдквиста (Boyer — Lindquist) метрика Керра — Ньюмена даётся выражением:[1]

где ; и , где момент импульса, нормированный на скорость света, а — аналогично нормированный заряд.

Из этой простой формулы легко вытекает, что горизонт событий находится на радиусе: , и следовательно параметры чёрной дыры не могут быть произвольными: электрический заряд и угловой момент не могут быть больше значений, соответствующих исчезновению горизонта событий. Должны выполняться следующие ограничения:

 — это ограничение для ЧД Керра — Ньюмена.

Если эти ограничения нарушатся, горизонт событий исчезнет, и решение вместо чёрной дыры будет описывать так называемую «голую» сингулярность, но такие объекты, согласно распространённым убеждениям, в реальной Вселенной существовать не должны (согласно пока не доказанному, но правдоподобному принципу космической цензуры). Альтернативно, под горизонтом может находиться источник сколлапсировавшей материи, которая закрывает сингулярность, и поэтому внешнее решение Керра или Керра — Ньюмена должно быть непрерывно состыковано с внутренним решением уравнений Эйнштейна с тензором энергии-импульса этой материи. Сингулярность исчезает вместе с ограничением на параметры ЧД решения Керра-Ньюмена.

Ещё в 1970 году В. Израэль рассмотрел источник решения Керра — Ньюмена в виде вращающегося диска, закрывающего этот ход. Это направление было развито К. Лопезом (C. L`opez), показавшим, что керровская сингулярность может быть закрыта вращающейся оболочкой (bubble), и в этом случае ограничение на параметры решения Керра — Ньюмена не действует. Более того, как заметил Б. Картер (1968), решение Керра — Ньюмена обладает таким же гиромагнитным отношением, как у электрона согласно уравнению Дирака. История этого направления для решения Керра — Ньюмена излагается в работе arXiv:0910.5388[hep-th].

Метрику Керра — Ньюмена (и просто Керра, но не Шварцшильда) можно аналитически продолжить через горизонт таким образом, чтобы соединить в чёрной дыре бесконечно много «независимых» пространств. Это могут быть как «другие» вселенные, так и удалённые части нашей Вселенной. В таким образом полученных пространствах есть замкнутые времениподобные кривые: путешественник может, в принципе, попасть в своё прошлое, то есть встретиться с самим собой. Вокруг горизонта событий вращающейся чёрной дыры также существует область, называемая эргосферой, практически эквивалентная эргосфере из решения Керра; находящийся там стационарный наблюдатель обязан вращаться с положительной угловой скоростью (в сторону вращения чёрной дыры).

Координаты Керра — Шильда[править | править вики-текст]

Наиболее простое выражение решения Керра и Керра — Ньюмена принимают в форме Керра — Шильда (КШ)[2], в которой метрика имеет вид

,

где является метрикой вспомогательного пространства Минковского с декартовыми координатами .

В этой форме является векторным полем светоподобных направлений. Часто говорят «нулевых» направлений, поскольку . Заметим, что специфическая структура формы метрики КШ гарантирует, что поле является также нулевым относительно вспомогательного плоского пространства, то есть .

Функция H имеет вид

где  — это сплюснутые сфероидальные координаты Керра, которые определяются соотношением

и переходят вдали от ЧД в обычные сферические координаты. В этих координатах компоненты вектора определяются из дифференциальной формы

путём сравнения коэффициентов перед дифференциалами. Это один из примеров вычисления с применением очень удобного аппарата внешних форм, который и был использован Керром для получения решения в первой и последующих работах.

В действительности, Керровская угловая координата очень необычна, и простая форма КШ связана с тем, что вся сложность решения скрыта в форме векторного поля , которое представляет собой вихревой светоподобный поток, образующий так называемую Главную Нулевую Конгруэнцию (ГНК). В декартовых координатах компоненты векторного поля определяются формой

.

В теории КШ для определения этого поля используются также «нулевые» (световые) декартовы координаты

,

в которых конгруэнция имеет компоненты, определяемые дифференциальной формой

.

Это выражение определяется комплексной функцией , которая имеет два решения , что даёт для векторного поля две различные конгруэнции (ГНК). Таким образом, решение для вращающихся ЧД может быть записано в двух различных формах, которые базируются на «входящей в» ЧД или «исходящей из» ЧД конгруэнции, что соответствует так называемым алгебраически специальным решениям типа D (по классификации Петрова).

Представление в форме КШ обладает рядом преимуществ, так как конгруэнция, все координаты и форма решений для электромагнитного (ЭМ) поля и метрики оказываются жёстко связанными с координатами вспомогательного плоского пространства и не зависят от положения горизонта и границы эргосферы. Более того, решения КШ однозначно продолжаются аналитически через горизонт внутрь ЧД и далее на «отрицательный» лист — область отрицательных значений сплюснутой радиальной координаты .

В координатах Керра функция имеет вид

.

Геометрически, она представляет собой проекцию небесной сферы с координатами на комплексную плоскость , однако зависимость очень нетривиальна и задаётся тесно связанной с твисторами теоремой Керра. Фактически, ГНК формирует костяк решения Керра как вихрь твисторных лучей. Функция для покоящегося решения имеет вид

.

Подобно форме метрики КШ, все тензорные характеристики решения должны быть согласованными с векторным полем ГНК, и в частности, вектор-потенциал ЭМ поля решения Керра — Ньюмена выражается в виде

.

Керровская сингулярность находится под горизонтом. Она связана с сингулярностью функции H и соответствует значениям и одновременно . Она представляет собой кольцо, открывающее проход к отрицательному листу геометрии Керра, , на котором значения массы и заряда, а также направления полей меняются на обратные. (Не путайте с максимальным аналитическим расширением решений через горизонт ЧД, описанным несколько ниже.) Этот второй лист («Алисово зазеркалье») долгое время был загадкой решения Керра.

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер. Гравитация, Т. 3, 1977, Дополнение 33.2. ГЕОМЕТРИЯ КЕРРА — НЬЮМАНА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ, c. 88.
  2. Debney G. C., Kerr R. P. and Schild A. Solutions of the Einstein and Einstein-Maxwell Equations (англ.) // Journal of Mathematical Physics. — 1969. — Vol. 10. — P. 1842—1854. — DOI:10.1063/1.1664769.