Связное двоеточие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Свя́зное двоето́чие, или двоеточие Александрова — наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Определение[править | править вики-текст]

Связным двоеточием называется топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов («открыто») и («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

  1.  — пустое множество;
  2.  — множество из одного элемента «открыто»;
  3.  — всё пространство.

Описание[править | править вики-текст]

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только , а замкнутым — только . Мы видим, что точка не имеет окрестностей, кроме всего пространства, следовательно, пространство нарушает аксиому T1, в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка не является замкнутым подмножеством.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Отображение из топологического пространства в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз точки открыт в (или, что то же самое, прообраз точки замкнут в ). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия.
  • Связное двоеточие является связным и также линейно связным пространством.
  • Александровский куб , где — связное двоеточие, является универсальным пространством для -пространств веса при , т.е. любое — пространство веса гомеоморфно подпространству пространства .

Литература[править | править вики-текст]

Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — ISBN 5-354-00822-0.

Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.