Алгебра множеств

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Алгебра (теория множеств)»)
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра множеств в теории множеств — это непустая система подмножеств, замкнутая относительно операций дополнения (разности) и объединения (суммы).

Определение[править | править вики-текст]

Семейство подмножеств множества (здесь  — булеан) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. Если , то и его дополнение
  2. Объединение двух множеств также принадлежит

Замечания[править | править вики-текст]

  • По определению, если алгебра содержит множество , то она содержит и его дополнение. Объединением с его дополнением является исходное множество . Дополнением к множеству является пустое множество. Это означает, что множество и пустое множество содержится в алгебре по определению.
  • В силу свойств операций над множествами, алгебра множеств также замкнута относительно пересечения и симметрической разности.
  • Алгебра множеств — это частный случай алгебры с единицей, где операцией «умножения» является пересечение множеств, а операцией «сложения» является симметрическая разность.
  • Если исходное множество является пространством элементарных событий, то алгебра называется алгеброй событий — ключевое понятие теории вероятностей и связанных с ней математических дисциплин, имеющее уникальную интерпретацию и играющее самостоятельную роль в математике.

Алгебра событий[править | править вики-текст]

Алгебра событийтеории вероятностей) — алгебра подмножеств пространства элементарных событий , элементами которого служат элементарные события.

Как и положено алгебре множеств алгебра событий содержит невозможное событие (пустое множество) и замкнута относительно теоретико-множественных операций, производимых в конечном числе. Достаточно потребовать, чтобы алгебра событий была замкнута относительно двух операций, например, пересечения и дополнения, из чего сразу последует её замкнутость относительно любых других теоретико-множественных операций. Алгебра событий, замкнутая относительно счётного числа теоретико-множественных операций, называется сигма-алгеброй событий.

В теории вероятностей встречаются следующие алгебры и сигма-алгебры событий:

Алгебры и сигма-алгебры событий — это области определения вероятности . Если , то событие называется невозможным событием; если , то событие называется достоверным событием;

Событие или , заключается в том, что из двух событий и происходит по крайней мере одно, называется суммой событий и .

Любая сигма-аддитивная вероятность на алгебре событий однозначно продолжается до сигма-аддитивной вероятности, определенной на сигма-алгебре событий, порожденной данной алгеброй событий.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]