Универсальное свойство: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
Нет описания правки
Во многих областях [[математика|математики]] полезную конструкцию часто можно рассматривать как «наиболее эффективное решение» определенной проблемы. Определение '''универсального свойства''' использует язык [[теория категорий|теории категорий]], чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.
 
В этой статье даётся общее описание универсального свойства. Чтобы лучше понять эту концепцию, будет полезно сначала изучить несколько примеров, которых существует довольно много: [[Произведение (теория категорий)|прямое произведение]] и [[копроизведение]], [[свободная группа]], [[группа Гротендика]], [[компактификация Стоуна — Чеха]], [[тензорное произведение]], [[прямой предел]] и [[обратный предел]], [[ядро (теория категорий)|ядро]] и [[коядро (теория категорий)|коядро]], [[декартов квадрат]], и [[кодекартов квадрат]] и, [[уравнитель (математика)|уравнитель]] и [[коуравнитель]].
 
== МотивацияМотивировка ==
Прежде чем давать формальное определение, мы предложим некоторую мотивациюмотивировку для изучения подобных конструкций.
* Конкретное описание некоторой конструкции может быть длинным и беспорядочным, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, можно смело забыть о деталях её описания; всё, что нужно для вывода её свойств, уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся более короткими и элегантными, если в них используется универсальное свойство, а не конкретные детали. Например, [[тензорная алгебра|тензорную алгебру]] векторного пространства приходится строить в несколько шагов, тогда как с её универсальным свойством обращаться гораздо проще.
* Универсального свойства достаточно, чтобы определить объект с точностью до [[изоморфизм (математика)|изоморфизма]].<ref>Jacobson (2009), Proposition 1.6, p. 44.</ref> Таким образом, появляется ещё один способ доказать, что два объекта изоморфна, а именно доказать, что они обладают одинаковым универсальным свойством.
«Любое линейное отображение из ''V'' ''K''-алгебру ''A'' может быть единственным образом продолжено до гомоморфизма алгебр ''T(V)'' → ''A''.»
 
Это выражение описывает начальное свойство тензорной алгебры, то есть тот факт, что пара (''T''(''V''), ''i''), где ''i'' : ''V'' → ''T''(''V'') — стандартное вложение, является начальной стрелкой из векторного пространства ''V'' в функтор ''U''. Мы получили функтор ''T'' из '''''K''-Vect''' в '''''K''-Alg''' Это значит, что ''T'' является левым сопряженным функтором забывающего функтора ''U'' (см. раздел [[#«связь с сопряженнными функторами|связь с сопряженнными функторами]]»).
 
=== Произведения ===
[[Произведение (теория категорий)|Произведение в теории категорий]] можно характеризоватьохарактеризовать его универсальным свойством. А именно: пусть ''X'' и ''Y'' — объекты категории ''D'', а ''C'' — произведение категорий ''D'' × ''D''. Определим диагональный функтор
: Δ : ''D'' → ''D'' × ''D''
 
 
== История ==
Универсальные свойства многих топологических конструкций были описаны [[Самюэль, Пьер|Пьером Самюэлем]] в 1948 году. Позднее они активно использовались [[Николя Бурбаки|Бурбаки]]. Тесно связанная с этим концепция сопряженных функторов была независимо предложена [[Кан, Даниэль|Даниэлем Каном]] в 1958 году.
 
== Примечания ==
{{примечания}}
* ''С. Маклейн'' Категории для работающего математика, — {{М}}: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
* [[Кон, Пол Мориц|Paul Cohn]], ''Universal Algebra'' (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1.
* [[Маклейн, Саундерс|Mac Lane, Saunders]], ''Categories for the Working Mathematician'' 2nd ed. (1998), Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
* Borceux, F. ''Handbook of Categorical Algebra: vol 1 Basic category theory'' (1994) Cambridge University Press, (Encyclopedia of Mathematics and its Applications) ISBN 0-521-44178-1
* N. Bourbaki, ''Livre II : Algèbre'' (1970), Hermann, ISBN 0-201-00639-1.

Навигация