Универсальное множество

$~U~~~=~~~\varnothing ^{c}$

$~A^{c}~~~=~~~U\setminus A$

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. Если универсальное множество существует, то оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается $U$ (от англ. universe, universal set), реже $E$.

В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.

В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.

В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations У. В. О. Куайна.

Свойства универсального множества

• Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

  $\forall a\colon a\in U$

• В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

  $U\in U$

• Любое множество является подмножеством универсального множества.

  $\forall A\colon A\subseteq U$

• В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

  $U\subseteq U$

• Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

  $\forall A\colon U\cup A=U$

• В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  $U\cup U=U$

• Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

  $\forall A\colon U\cap A=A$

• В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  $U\cap U=U$

• Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

  $\forall A\colon A\setminus U=\varnothing$

• В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

  $U\setminus U=\varnothing$

• Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

  $\forall A\colon U\setminus A={\overline {A}}$

• Дополнение универсального множества есть пустое множество.

  ${\overline {U}}=\varnothing$

• Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

  $\forall A\colon U\triangle A={\overline {A}}$

• В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

  $U\triangle U=\varnothing$

Виды

• Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики такое, что для любой $g\in P_{2}(n)$ существует набор функций $g_{1},\ldots ,g_{p}\in G$ такой, что:

$g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p}$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Парадокс Рассела