Рациональная функция: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Illustr (обсуждение | вклад) оформление, источники |
→Описание: стилевые правки |
||
Строка 3: | Строка 3: | ||
'''Рациональная [[Функция (математика)|функция]]''' — это дробь, [[числитель|числителем]] и [[дробь (математика)|знаменателем]] которой являются [[многочлен]]ы. |
'''Рациональная [[Функция (математика)|функция]]''' — это дробь, [[числитель|числителем]] и [[дробь (математика)|знаменателем]] которой являются [[многочлен]]ы. |
||
== |
== Определение == |
||
Рациональной функцией называется функция вида |
|||
Рациональная функция имеет вид |
|||
:: <math>\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math> |
:: <math>\frac{P_n(x_1,\dots,x_n)}{Q_m(x_1,\dots,x_m)}</math> |
||
где |
где <math>P_n(x_1,\dots,x_n)</math>, <math>Q_m(x_1,\dots,x_m)</math> — [[многочлен]]ы от любого числа переменных. |
||
⚫ | |||
Частным случаем являются рациональные функции одной переменной: |
Частным случаем являются рациональные функции одной переменной: |
||
: <math>R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}</math>, где <math>P(x)</math> и <math>Q(x)</math> — многочлены. |
: <math>R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}</math>, где <math>P(x)</math> и <math>Q(x)</math> — многочлены. |
||
⚫ | |||
Другим частным случаем является отношение двух [[Линейная функция|линейных функций]] — [[дробно-линейная функция]]. |
Другим частным случаем является отношение двух [[Линейная функция|линейных функций]] — [[дробно-линейная функция]]. |
Версия от 07:55, 18 февраля 2017
Рациональная функция — это дробь, числителем и знаменателем которой являются многочлены.
Определение
Рациональной функцией называется функция вида
где , — многочлены от любого числа переменных.
Такая функция определена во всех точках, кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль.
Частным случаем являются рациональные функции одной переменной:
- , где и — многочлены.
Другим частным случаем является отношение двух линейных функций — дробно-линейная функция.
Свойства
- Любое выражение, которое можно получить из переменных с помощью четырёх арифметических действий, является рациональной функцией.
- Множество рациональных функций замкнуто относительно арифметических действий и операции композиции.
- Любая рациональная функция может быть представлена в виде суммы простейших дробей (см. Метод неопределённых коэффициентов), это применяется при аналитическом интегрировании.
Правильные дроби
Различают правильные и неправильные рациональные дроби, по аналогии с обычными числовыми дробями. Рациональная дробь называется правильной, если порядок знаменателя больше порядка числителя, и неправильной, если это не так.
Любую неправильную рациональную дробь можно преобразовать в сумму некоторого многочлена и правильной рациональной дроби
Любую рациональную дробь многочленов с вещественными коэффициентами можно представить как сумму рациональных дробей, знаменателями которых являются выражения ( — вещественный корень ) либо (где не имеет действительных корней), причём степени не больше кратности соответствующих корней в многочлене . На основании этого утверждения основана теорема об интегрируемости рациональной дроби. Согласно ей, любая рациональная дробь может быть интегрирована в элементарных функциях, что делает класс рациональных дробей весьма важным в математическом анализе.
C этим связан метод выделения рациональной части в первообразной от рациональной дроби, который был предложен в 1844 году М. В. Остроградским[1].
См. также
Примечания
- ↑ M. Ostrogradsky. De l'intégration des fractions rationnelles. — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg. — 1845. — Vol. IV. — Col. 145—167, 286—300.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |