Теорема Брауэра о неподвижной точке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Брауэра о неподвижной точке — важная теорема о неподвижной точке, применимая к непрерывным отображениям в конечномерных пространствах, являющаяся основной для некоторых более общих теорем.

История[править | править вики-текст]

Приоритет в открытии теоремы принадлежит Пирсу Болю: в своей работе 1904 года[1] он сформулировал и доказал теорему эквивалентную теореме о неподвижной точке и описал применении этой теоремы к теории дифференциальных уравнений[2]. Однако его результат не был замечен. В 1909 году Брауэр переоткрыл эту теорему для случая .

Формулировка[править | править вики-текст]

Обычно теорема формулируется в следующем виде: Любое непрерывное отображение замкнутого шара в себя в конечномерном евклидовом пространстве имеет неподвижную точку.

Более подробно, рассмотрим замкнутый шар в n-мерном пространстве . Пусть — некоторое непрерывное отображение этого шара в себя (не обязательно строго внутрь себя, не обязательно биективное, т.е. даже не обязательно сюръективное). Тогда найдется такая точка , что .

Доказательство[править | править вики-текст]

Из подсчёта гомологических или гомотопических групп сферы и шара вытекает, что не существует ретракции шара на его границу.

Пусть теперь — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки рассмотрим прямую, проходящую через точки и (она единственна, так как по предположению неподвижных точек нет.). Пусть — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем лежит между и . Легко видеть, что отображение — ретракция шара на его границу. Противоречие.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Следствия[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276
  2. А. Д. Мышкис, И. М. Рабинович (1955). «Первое доказательство теоремы о неподвижной точке при непрерывном отображении шара в себя, данное латышским математиком П.Г.Болем». Успехи математических наук 10 (3): 188–192.

Литература[править | править вики-текст]