Теорема Какутани о неподвижной точке

Теорема Какутани о неподвижной точке — обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке на многозначные функции.

Формулировка

Пусть $S$ — непустое компактное выпуклое подмножество евклидова пространства. Пусть $\phi \colon S\to 2^{S}$ — многозначная функция на $S$, такая, что множество $\phi (x)\subset S$ непусто и выпукло для всех $x\in S$, и имеет замкнутый график, то есть множество

$\{\,(x,y)\in S\times S\mid \,y\in \phi (x)\}$

замкнуто в топологии прямого произведения $S\times S$. Тогда $\phi (x)$ имеет неподвижную точку, то есть существует точка $x\in S$ такая, что $x\in \phi (x)$.

График многозначной функции без неподвижных точек.

Замечание

Из следующего примера видно, что требование выпуклости множеств $\phi (x)$ существенно.

Зафиксируем достаточно маленькое положительное число $\varepsilon$ и рассмотрим функцию

$\varphi (x)=\{\,y\in [0,1]\mid |x-y|\geq \varepsilon \,\},$

определенную на отрезке $[0,1]$. Заметим, что множество $\phi ({\tfrac {1}{2}})$ не выпукло и эта функция не имеет неподвижной точки, хотя удовлетворяет всем остальным требованиям теоремы.

О доказательствах

• Теорему Какутани можно свести к теореме Брауэра аппроксимацией.

• Теорему Какутани можно вывести из леммы Шпернера аналогично теореме Брауэра.

История

Теорема доказана Сидзуо Какутани в 1941 году, чтобы доказать теорему о минимаксе в антагонистической игре.

Она была использована Джоном Нэшем при доказательстве существования равновесия Нэша в знаменитой двухстраничной статье, которая принесла ему Нобелевскую премию по экономике.

Ссылки

• Воробьёв Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. — М.: Наука, 1984.
• Савватеев А.В. Основные теоремы теории игр // Общеинститутский семинар «Коллоквиум МИАН» 4 декабря 2014 г. 16:00, г. Москва, конференц-зал МИАН (ул. Губкина, 8).