Теорема Какутани о неподвижной точке

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Какутани о неподвижной точке — обобщение теоремы Брауэра о неподвижной точке на многозначные функции.

Формулировка[править | править код]

Пусть непустое компактное выпуклое подмножество евклидова пространства. Пусть многозначная функция на , такая, что множество непусто и выпукло для всех , и имеет замкнутый график, то есть множество

замкнуто. Тогда имеет неподвижную точку, то есть существует точка такая, что .

График многозначаной функции без неподвижных точек.

Замечание[править | править код]

Из следующего примера видно, что требование выпуклости существенно.

Зафиксируем достаточно маленькое положительное число . Рассмотрим следующую функцию, определенную на

Заметим, что не выпукло и эта функция не имеет неподвижной точки, хотя удовлетворяет всем остальным требованиям теоремы.

О доказательствах[править | править код]

  • Теорему Какутани можно свести к теореме Брауэра аппроксимацией.
  • Теорему Какутани можно вывести из леммы Шпернера аналогично теореме Брауэра.

История[править | править код]

Теорема доказана Шизуо Какутани в 1941 году[1] чтобы доказать теорему о минимаксе в антагонистической игре.

Она была использована Джоном Нэшем при доказательстве существования равновесия Нэша в знаменитой двухстраничной статье[2], которая принесла ему Нобелевскую премию по экономике.

Литература[править | править код]

  1. Kakutani, Shizuo (1941). «A generalization of Brouwer’s fixed point theorem». Duke Mathematical Journal 8 (3): 457–459. DOI:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
  2. Nash, J.F., Jr. (1950). «Equilibrium Points in N-Person Games». Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 36 (1): 48–49. DOI:10.1073/pnas.36.1.48. PMID 16588946.

Ссылки[править | править код]