Теория операторов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.

Отображение из векторного пространства в векторное пространство называется линейным оператором если для любых и в и любых скаляров и . Часто пишут вместо . Линейный оператор из нормированного пространства в нормированное пространство называется ограниченным если найдется положительное вещественное число такое что для всех в . Наименьшая константа удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора и обозначается . Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.

Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства в нормированное пространство обозначается . В случае когда пишут вместо . Если  — гильбертово пространство, то обычно пишут вместо . На можно ввести структуру векторного пространства через и , где , , а  — произвольный скаляр. С введённой операторной нормой превращается в нормированное пространство.

В частности, и для любых и произвольного скаляра . Пространство является банаховым тогда и только тогда когда  — банахово.

Пусть и  — нормированные пространства, и . Композиция и обозначается и называется произведением операторов и . При этом и . Если  — банахово пространство, то , оснащённое произведением, является банаховой алгеброй.

В теории операторов можно выделить несколько основных разделов:

  1. Спектральная теория изучает спектр оператора.
  2. Классы операторов. В частности, компактные операторы, фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
  3. Операторы на специальных нормированных пространствах.
  4. Совокупности операторов (то есть, подмножества ): операторные алгебры, операторные полугруппы и др.
  5. Теория инвариантных подпространств.

Литература[править | править вики-текст]

  • Садовничий В. А. Теория операторов. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.
  • Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962. — 896 с.
  • Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Спектральная теория. — М.: Мир. 1966. — 1064 с.