Нормальный оператор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нормальный операторлинейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: . Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: и унитарные операторы: . Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Разложения[править | править вики-текст]

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа через его действительную и мнимую части: , а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: [1]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если оператор нормален, то операторы , , а также обратный оператор (если он существует), тоже нормальны.[2]
  • Линейный непрерывный оператор в гильбертовом пространстве нормален тогда и только тогда, когда для каждого .
  • . Здесь ядро, образ оператора .
  • Если при некотором и , то .
  • Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны.[3]
  • Теорема о перестановочности. Пусть линейные непрерывные операторы, причем операторы и нормальны. Если , то . В частности, если оператор перестановочен с нормальным оператором , то он перестановочен и с сопряжённым .[4]
  • [5]
  • Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.[6]
  • Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если , где — нормальные операторы, а оператор обратим, то , где унитарный оператор.[7]
  • , следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.[2]

Спектральная теорема[править | править вики-текст]

Любому нормальному оператору соответствует семейство проекционных операторов , являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что

и вообще

где — произвольный многочлен от и ; при любом фиксированном прямоугольнике оператор является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов и .[8]


На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

[9]

Случай конечномерного пространства[править | править вики-текст]

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

Неограниченные операторы[править | править вики-текст]

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве называется нормальным, если его область определения плотна в , он замкнут и удовлетворяет условию . Для нормального оператора , для любого . Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.[11]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]