Неравенство Птолемея

Если 4 точки не лежат на одной окружности, то все три неравенства Птолемея строгие.

Неравенство Птолемея — неравенство на 6 расстояний между четвёркой точек на плоскости.

Названо в честь позднеэллинистического математика Клавдия Птолемея.

Формулировка

Для любых точек $A,B,C,D$ плоскости выполнено неравенство

$AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD,$

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $ABCD$ — выпуклый вписанный четырёхугольник, или точки $A,B,C,D$ лежат на одной прямой.

Случай равенства также называется тождеством Птолемея.

Доказательство

Простейшее доказательство получается с использованием комплексных чисел. Пусть комплексные числа $z_{1},\,z_{2},\,z_{3},\,z_{4}$ соответствуют точкам $A,B,C,D$ плоскости. Тогда неравенство Птолемея равносильно неравенству

$|z_{3}-z_{1}|\cdot |z_{4}-z_{2}|\leq |z_{3}-z_{2}|\cdot |z_{4}-z_{1}|+|z_{3}-z_{4}|\cdot |z_{1}-z_{2}|$,

которое следует из неравенства треугольника для комплексных чисел и тождества

$(z_{3}-z_{1})\cdot (z_{4}-z_{2})=(z_{3}-z_{2})\cdot (z_{4}-z_{1})+(z_{3}-z_{4})\cdot (z_{1}-z_{2})$.

В случае обращения неравенства в равенство слагаемые в правой части должны быть пропорциональны вектору суммы и сонаправлены ему, то есть оба числа

${\cfrac {(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}{(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}}$ и ${\cfrac {(z_{3}-z_{4})(z_{1}-z_{2})}{(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}}$

должны быть вещественны, положительны, с суммой равной 1 (то есть находятся между 0 и 1).

Вещественность означает, что ${\rm {Im}}{\cfrac {z_{3}-z_{2}}{z_{3}-z_{1}}}:{\cfrac {z_{4}-z_{2}}{z_{4}-z_{1}}}=0$, а это - стандартное уравнение окружности.

То, что числа между 0 и 1 означает лишь, что точки A и C на этой окружности - не соседние (на обеих дугах между ними должна присутствовать либо точка B, либо точка D).

О других доказательствах

• Один из вариантов доказательства неравенства основан на применении инверсии относительно окружности с центром в точке $A$; этим неравенство Птолемея сводится к неравенству треугольника для образов точек $B$, $C$, $D$.
• Существует способ доказательства через прямую Симсона.
• Теорема Птолемея может доказываться следующим способом (близким к доказательству самого Птолемея, приведённому им в книге Альмагест) — ввести точку $E$ такую, что $\angle ABE=\angle DBC$, а потом через подобие треугольников.
• Теорема также является следствием из соотношения Бретшнайдера.

Следствия

• Теорема Помпею. Рассмотрим точку $X$ и правильный треугольник $ABC$. Тогда из отрезков $XA$, $XB$ и $XC$ можно составить треугольник, причём этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка $X$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.

• Если AC — диаметр окружности, то теорема превращается в правило синуса суммы. Именно это следствие использовал Птолемей для составления таблицы синусов.

• Формула Карно

Вариации и обобщения

• Соотношение Бретшнайдера
• Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если $A_{1},A_{2},\dots A_{6}$ произвольные точки плоскости (это обобщение называют теоремой Птолемея для шестиугольника, а в зарубежной литературе теоремой Фурмана (Fuhrmann’s theorem)), то

Обобщенная теорема Птолемея или теорема Кейси

$A_{1}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{3}A_{6}\leq A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{6}\cdot A_{4}A_{5}+A_{1}A_{2}\cdot A_{3}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+$

$+A_{2}A_{3}\cdot A_{1}A_{4}\cdot A_{5}A_{6}+A_{2}A_{3}\cdot A_{4}A_{5}\cdot A_{1}A_{6}+A_{3}A_{4}\cdot A_{2}A_{5}\cdot A_{1}A_{6},$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $A_{1}\dots A_{6}$ — вписанный шестиугольник.

• Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея): Рассмотрим окружности $\alpha ,\beta ,\gamma$ и $\delta$, касающиеся данной окружности в вершинах $A,B,C$ и $D$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Пусть $t_{\alpha \beta }$ — длина общей касательной к окружностям $\alpha$ и $\beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); $t_{\beta \gamma },t_{\gamma \delta }$ и т. д. определяются аналогично. Тогда

$t_{\alpha \beta }t_{\gamma \delta }+t_{\beta \gamma }t_{\delta \alpha }=t_{\alpha \gamma }t_{\beta \delta }$.

Циклический граф, в котором все расстояния удовлетворяют неравенству Птолемея, называют графом Птолемея

• Граф Птолемея (см. рис.),

См. также

• Теорема Помпею
• Теорема Микеля о шести окружностях

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 328-329. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 61-63. — ISBN 5-94057-170-0.