Тождество Уорда — Такахаши

Тождество Уорда — Такахаши (в квантовой теории поля) — это тождество между корреляционными функциями, которое следует из глобальной или калибровочной симметрии теории и которое выполняется после перенормировки.

Тождество Уорда — Такахаши в квантовой электродинамике (КЭД) первоначально использовалось Джоном Клайвом Уордом и Ясуси Такахаши для того, чтобы связать перенормировку волновой функции электрона с его вершинным коэффициентом перенормировки, гарантируя устранение ультрафиолетовой расходимости во всех порядках теории возмущений. Более поздние варианты использования включают распространение доказательства теоремы Голдстоуна на все порядки теории возмущений.

В более общем смысле, тождество Уорда — Такахаши представляет собой квантовую версию классического закона сохранения тока, связанного с непрерывной симметрией по теореме Нётер. Такие симметрии в квантовой теории поля (почти) всегда приводят к появлению этих обобщённых тождеств Уорда — Такахаши, которые налагают симметрию на уровень квантово-механических амплитуд. Есть обобщённые соотношения, которые следует отличать при чтении литературы, такой как учебник Майкла Пескина и Дэниела Шредера, от оригинального тождества Уорда — Такахаши.

Подробное обсуждение ниже касается КЭД, абелевой теории, к которой применимо тождество Уорда — Такахаши. Эквивалентными тождествами для неабелевых теорий, таких как квантовая хромодинамика (КХД), являются тождества Славнова — Тейлора.

Тождество Уорда — Такахаши

Тождество Уорда — Такахаши применяется к корреляционным функциям в импульсном пространстве, которые не обязательно имеют все свои внешние импульсы на оболочке. Пусть

${\mathcal {M}}(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})$

— корреляционная функция КЭД, включающая внешний фотон с импульсом k (где $\epsilon _{\mu }(k)$ — вектор поляризации фотона и подразумевается суммирование по $\mu =0,\ldots ,3$), n электронов в начальном состоянии с импульсами $p_{1}\cdots p_{n}$, и n электронов конечного состояния с импульсами $q_{1}\cdots q_{n}$. Также по определению ${\mathcal {M}}_{0}$ — это более простая амплитуда, полученная удалением фотона с импульсом k из нашей исходной амплитуды. Тогда тождество Уорда — Такахаши гласит:

$k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k;p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})=e\sum _{i}\left[{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots p_{n};q_{1}\cdots (q_{i}-k)\cdots q_{n})\right]\,.$

$\left.-{\mathcal {M}}_{0}(p_{1}\cdots (p_{i}+k)\cdots p_{n};q_{1}\cdots q_{n})\right]$

где e — заряд электрона имеет отрицательный знак. Обратите внимание, что если ${\mathcal {M}}$ имеет внешние электроны на оболочке, то каждая амплитуда в правой части этого тождества имеется по одной внешней частице вне оболочки, и поэтому они не вносят вклада в элементы S-матрицы.

Тождество Уорда

Тождество Уорда представляет собой специализацию тождества Уорда — Такахаши на элементах S-матрицы, которые описывают физически возможные процессы рассеяния и, таким образом, имеют все свои внешние частицы на оболочке. Пусть ${\mathcal {M}}(k)=\epsilon _{\mu }(k){\mathcal {M}}^{\mu }(k)$ — амплитуда некоторого процесса КЭД с участием внешнего фотона с импульсом $k$, где $\epsilon _{\mu }(k)$ — вектор поляризации фотона. Затем тождество Уорда гласит:

$k_{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu }(k)=0$

Физически это тождество означает, что продольная поляризация фотона, возникающая в ξ-калибровке, нефизична и исчезает из S-матрицы.

Его использование включает ограничение тензорной структуры поляризации вакуума и электронной вершинной функции в КЭД.

Вывод в формулировке интеграла по траекториям

В формулировке интеграла по траекториям тождества Уорда — Такахаши являются отражением инвариантности функциональной меры относительно калибровочного преобразования. Точнее, если $\delta _{\varepsilon }$ представляет собой калибровочное преобразование с помощью $\varepsilon$ (и это справедливо даже в том случае, когда физическая симметрия системы глобальна или даже отсутствует; нас здесь беспокоит только инвариантность функциональной меры), тогда

$\int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =0$

выражает инвариантность функциональной меры, где $S$ — действие и ${\mathcal {F}}$ — функционал полей. Если калибровочное преобразование соответствует глобальной симметрии теории, то

$\delta _{\varepsilon }S=\int \left(\partial _{\mu }\varepsilon \right)J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x=-\int \varepsilon \partial _{\mu }J^{\mu }\mathrm {d} ^{d}x$

для некоторого тока J (как функционала от полей $\phi$) после интегрирования по частям и предположения, что поверхностными членами можно пренебречь.

Тогда тождества Уорда — Такахаши записываются в виде

$\langle \delta _{\varepsilon }{\mathcal {F}}\rangle -i\int \varepsilon \langle {\mathcal {F}}\partial _{\mu }J^{\mu }\rangle \mathrm {d} ^{d}x=0$

Это КТП-аналог уравнения неразрывности Нётер $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$.

Если калибровочное преобразование соответствует фактической калибровочной симметрии, то

$\int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{i\left(S+S_{gf}\right)}\right){\mathcal {D}}\phi =0$

где $S$ — калибровочно-инвариантное действие и $S_{\mathrm {gf} }$ — некалибровочно-инвариантный вклад, фиксирующий калибровку.

Но обратите внимание, что даже если глобальной симметрии нет (то есть симметрия нарушена), у нас всё равно есть тождество Уорда — Такахаши, описывающее скорость несохранения заряда.

Если функциональная мера не является калибровочно-инвариантной, но удовлетворяет соотношению

$\int \delta _{\varepsilon }\left({\mathcal {F}}e^{iS}\right){\mathcal {D}}\phi =\int \varepsilon \lambda {\mathcal {F}}e^{iS}\mathrm {d} ^{d}x$

где $\lambda$ — некоторый функционал полей $\phi$, то имеется аномальное тождество Уорда — Такахаши, например, когда у поля есть киральная аномалия.