Теорема Нётер

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теоре́ма Э́мми Нётер — теорема, доказанная Эмми Нётер в 1918 году. Была впервые определена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и самой Эмми Нётер.

Общие сведения[править | править код]

Симметрия в физике
Преобразование Соответствующая
инвариантность
Соответствующий
закон
сохранения
Трансляции времени Однородность
времени
…энергии
C, P, CP и T-симметрии Изотропность
времени
…чётности
Трансляции пространства Однородность
пространства
…импульса
Вращения пространства Изотропность
пространства
…момента
импульса
Группа Лоренца (бусты) Относительность
Лоренц-ковариантность
…движения
центра масс
~ Калибровочное преобразование Калибровочная инвариантность …заряда

Теорема Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения:

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Если действие инвариантно относительно n-параметрической непрерывной группы преобразований, то существует n независимых законов сохранения.

Теорема Нётер формулирует достаточное условие существования законов сохранения. Однако это условие не является необходимым, поэтому могут существовать законы сохранения, не следующие из неё (такие примеры известны)[1]. Известна теорема, формулирующая необходимые и достаточные условия существования законов сохранения[2].


Формулировка[править | править код]

Первая теорема Нётер[править | править код]

Если интеграл действия инвариантен по отношению к некоторой -параметрической конечной группе Ли , то линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа-Эйлера) обращаются в дивергенции; и обратно, из последнего условия вытекает инвариантность по отношению к некоторой группе [3].

В теоретической физике выражения, стоящие под знаком дивергенций, называются токами. Если лагранжевы производные равны нулю (выполняются уравнения Эйлера), то дивергенции токов обращаются в нуль. Следствием этого являются дифференциальные законы сохранения. Интегральные законы сохранения типа закона сохранения электрического заряда или закона сохранения энергии получаются при интегрировании дифференциальных законов сохранения по специальным образом выбранной 3-мерной гиперповерхности при определённых граничных условиях[4].

Первая обратная теорема Нётер[править | править код]

Если линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа-Эйлера) обращаются в дивергенции, то интеграл действия инвариантен относительно -параметрической конечной группы Ли[4].

Вторая теорема Нётер[править | править код]

Обобщением первой теоремы Нётер для случая функционалов, инвариантных относительно произвольных бесконечных групп Ли , является вторая теорема Нётер.

Если интеграл действия инвариантен по отношению к некоторой - параметрической бесконечной группе Ли , в которой встречаются производные до -го порядка включительно, то имеет место тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до -го порядка. Обратное тоже верно.[3]

Вторая обратная теорема Нётер[править | править код]

Если имеет место тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до -го порядка включительно, то интеграл действия инвариантен относительно бесконечной группы Ли , преобразования которой содержат производные до -го порядка [4].

Классическая механика[править | править код]

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов , сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

В терминах инфинитезимальных преобразований, пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

и функция Лагранжа инвариантна относительно этих преобразований, то есть

при

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра , причем в процессе движения . Тогда из преобразований

следует первый интеграл

Теория поля[править | править код]

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от потенциалов, зависящих, в свою очередь, от координат. Функционал действия будет иметь вид

Пусть однопараметрическая группа диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа, тогда сохраняется вектор

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, . Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

поэтому поток через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Дифференциальные уравнения[править | править код]

Пусть имеется вариационная задача с функционалом действия . Здесь  — лагранжиан,  — независимые переменные,  — зависимые переменные, то есть функции от . может зависеть также и от производных по , не обязательно только первого порядка.

Вариационная задача для такого функционала приводит к дифференциальным уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые можно записать в виде

где  — операторы Эйлера-Лагранжа:

 — производная функции по переменной . Многоточие означает, что если зависит от производных порядка выше первого, то нужно добавить соответствующие слагаемые в . В компактной записи

,

где  — мультииндекс. Суммирование ведётся по всем слагаемым таким, что производная входит в .

Теорема Нётер связывает так называемые вариационные симметрии функционала с законами сохранения, выполняющимися на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения[править | править код]

Закон сохранения для системы дифференциальных уравнений — это выражение вида

которое справедливо на решениях этой системы, то есть такое, что если подставить в него эти дифференциальные уравнения, получится тождество. В данном случае рассматриваются дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа. Здесь  — полная дивергенция (дивергенция с полными производными) по .  — гладкие функции , и производных по .

Тривиальными законами сохранения называются законы сохранения

  • для которых само по себе является тождеством без учёта каких-либо дифференциальных уравнений;
  • или для которых обращается в 0 сразу при подстановке дифференциальных уравнений, без вычисления дивергенции (сохраняется тождественный ноль на решениях);
  • или для которых есть линейная комбинация предыдущих типов.

Если для двух законов сохранения с функциями и разность даёт тривиальный закон сохранения, такие два закона сохранения называются эквивалентными.

Всякий закон сохранения эквивалентен закону сохранения в характеристической форме — то есть такому, для которого

где  — выражения, которые входят в определение системы дифференциальных уравнений: . Для описываемого случая и

зависят от , и производных по и называются характеристиками закона сохранения.

Вариационные симметрии[править | править код]

Пусть имеется обобщённое векторное поле

«Обобщённое» понимается в том смысле, что и могут зависеть не только от и , но и от производных по .

Определение: называется вариационной симметрией функционала , если существует набор функций такой, что

 — продолжение . Продолжение учитывает, что действие на и вызывает также инфинитезимальное изменение производных, и задаётся формулами

В формуле для продолжения необходимо брать, кроме , слагаемые с такими , для которых входят в или, в общем случае, в то выражение, на которое продолжение действует.

Смысл определения вариационной симметрии состоит в том, что  — это инфинитезимальные преобразования, которые в первом порядке меняют функционал таким образом, что уравнения Эйлера-Лагранжа преобразуются в эквивалентные. Справедлива

теорема: если является вариационной симметрией, то является (обобщённой) симметрией уравнений Эйлера-Лагранжа:

Эта формула означает, что инфинитезимальные изменения выражений , записанные здесь в виде , обращаются в 0 на решениях.

Характеристики векторных полей[править | править код]

Набор функций (в обозначениях, данных выше) называется характеристикой векторного поля . Вместо можно брать векторное поле

которое называется эволюционным представителем .

и определяют по сути одну и ту же симметрию, поэтому, если известны характеристики , можно считать, что тем самым задана и симметрия. Продолжение определяется аналогично продолжению , но формально проще, поскольку не нужно отдельно учитывать вклад от .

Теорема Нётер устанавливает связь между характеристиками законов сохранения и характеристиками векторных полей.

Теорема Нётер[править | править код]

Обобщённое векторное поле определяет группу симметрий функционала в том и только в том случае, если его характеристика является характеристикой закона сохранения для соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения[править | править код]

В классической механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса выводятся из однородности/изотропности лагранжиана системы — лагранжиан (функция Лагранжа) не меняется со временем сам по себе и не изменяется переносом или поворотом системы в пространстве. По сути это означает то, что при рассмотрении некой замкнутой в лаборатории системы будут получены одни и те же результаты — вне зависимости от расположения лаборатории и времени проведения эксперимента. Другие симметрии лагранжиана системы, если они есть, соответствуют другим сохраняющимся в данной системе величинам (интегралам движения); например, симметрия лагранжиана гравитационной и кулоновской задачи двух тел приводит к сохранению не только энергии, импульса и момента импульса, но и вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Приложения[править | править код]

Теорема Нётер позволяет получать значительную информацию о свойствах решений системы дифференциальных уравнений, основываясь лишь на их симметрии. Она также является одним из методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, так как позволяет в некоторых случаях находить первые интегралы системы уравнений и таким образом понижать число неизвестных функций. Например:

  • Сохранение импульса системы следует из её инвариантности относительно пространственных сдвигов. Конкретнее, если сдвиг вдоль оси X не меняет систему уравнений, то сохраняется импульс вдоль этой оси.
  • Сохранение момента импульса следует из инвариантности системы относительно вращений пространства.
  • Закон сохранения энергии — это следствие однородности времени, позволяющей произвольным образом сдвигать начало отсчёта времени.

В случае уравнений в частных производных необходимо, вообще говоря, искать бесконечное число первых интегралов. Даже зная их, обычно нелегко выписать общее решение.

В силу своей фундаментальности, теорема Нётер используется в таких областях физики, как квантовая механика, для самого введения понятий импульса, момента импульса и т. д. Инвариантность уравнений относительно некоторых симметрий становится единственной сутью этих величин и гарантирует их сохранение.

В квантовой теории поля аналогом теоремы Нётер являются тождества Уорда — Такахаси (англ.), позволяющие получить дополнительные законы сохранения. Например, закон сохранения электрического заряда следует из инвариантности физической системы относительно изменения фазы комплексной волновой функции частицы и соответствующей калибровки векторного и скалярного потенциала электромагнитного поля.

Заряд Нётер также используется для вычисления энтропии стационарной чёрной дыры[5].

Примечания[править | править код]

  1. В. А. Дородницын, Г. Г. Еленин Симметрия нелинейных явлений // Компьютеры и нелинейные явления. - М., Наука, 1988. - с. 168
  2. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. - М., Наука, 1983. - с. 229
  3. 1 2 Эмми Нётер Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики / под ред. Полак Л. С. — М., Физматлит, 1959. — с. 613-614
  4. 1 2 3 Коноплёва Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. — М., Атомиздат, 1980. — c. 56, 69, 70
  5. Calculating the entropy of stationary black holes(англ.)

Литература[править | править код]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М.: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
  • Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 280 с., 1983 г.
  • Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Наука, 228 с., 1961 г.

Ссылки[править | править код]