Уравнения Фёппля — фон Кармана — уравнения в теории упругости названы в честь Августа Фёппля [1] Теодора фон Кармана ,[2] дифференциальных уравнений , описывающих большие прогибы тонких плоских пластин.[3] [4] [5]
(
1
)
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
∇
4
w
−
h
∂
∂
x
β
(
σ
α
β
∂
w
∂
x
α
)
=
P
(
2
)
∂
σ
α
β
∂
x
β
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}(1)\qquad &{\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\nabla ^{4}w-h{\frac {\partial }{\partial x_{\beta }}}\left(\sigma _{\alpha \beta }{\frac {\partial w}{\partial x_{\alpha }}}\right)=P\\(2)\qquad &{\frac {\partial \sigma _{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\end{aligned}}}
где E модуль Юнга материала пластины (предполагается однородной и изотропной), υ коэффициент Пуассона , h w P σ αβ тензор напряжений , и α , β индексы , которые принимают значения 1 и 2 (два ортогональные в плоскости направления). 2-мерный бигармонический оператор определяется как[6]
∇
4
w
:=
∂
2
∂
x
α
∂
x
α
[
∂
2
w
∂
x
β
∂
x
β
]
=
∂
4
w
∂
x
1
4
+
∂
4
w
∂
x
2
4
+
2
∂
4
w
∂
x
1
2
∂
x
2
2
.
{\displaystyle \nabla ^{4}w:={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\beta }\partial x_{\beta }}}\right]={\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}\,.}
Уравнение (1) можно получить из кинематических допущений и уравнений связи для пластины. Уравнения (2) описывают сохранение импульса в двух измерениях, где предполагается, что в плоскости напряжения (σ 33 ,σ 13 ,σ 23
Уравнения Фёппля — фон Кармана представляют интерес с чисто математической точки зрения, но физическое применение этих уравнений сомнительно.[7] [8] двумерные уравнения фон Кармана для пластин, первоначально предложенные фон Карманом [1910], играют мифическую роль в прикладной математике. В то время как они часто и с достаточной точностью изучались с математической точки зрения, включая различные вопросы существования, регулярности и бифуркации решений, но их физическая обоснованность часто подвергалась сомнению. Причины включают в себя следующие факты:
теория зависит от геометрического приближения, которое четко не определено;
произвольным образом задаётся изменение напряжения в поперечном сечении;
используются линейные материальные уравнения, что не соответствует известным соотношением между хорошо определёнными напряжениями и деформациями;
произвольно игнорируются некоторые компоненты деформации;
существует путаница между расчетной и деформированной конфигурациями, что делает теорию неприменимой к большим деформациям, для которых она была, видимо, придумана. Условия, при которых эти уравнения фактически применимы и дают разумные результаты после решения обсуждаются Ciarlet.[8] [9]
Три уравнения Фёппля — фон Кармана можно сократить до двух путем введения функции напряжения Эйри
φ
{\displaystyle \varphi }
σ
11
=
∂
2
φ
∂
x
2
2
,
σ
22
=
∂
2
φ
∂
x
1
2
,
σ
12
=
−
∂
2
φ
∂
x
1
∂
x
2
.
{\displaystyle \sigma _{11}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}^{2}}}~,~~\sigma _{22}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}^{2}}}~,~~\sigma _{12}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.}
Затем эти уравнения сводятся к[5]
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
Δ
2
w
−
h
(
∂
2
φ
∂
x
2
2
∂
2
w
∂
x
1
2
+
∂
2
φ
∂
x
1
2
∂
2
w
∂
x
2
2
−
2
∂
2
φ
∂
x
1
∂
x
2
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
=
P
{\displaystyle {\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\Delta ^{2}w-h\left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{2}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\right)=P}
Δ
2
φ
+
E
{
∂
2
w
∂
x
1
2
∂
2
w
∂
x
2
2
−
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
}
=
0
.
{\displaystyle \Delta ^{2}\varphi +E\left\{{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}-\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\right)^{2}\right\}=0\,.}
Для чистого изгиба тонких пластин уравнения равновесия
D
Δ
2
w
=
P
{\displaystyle D\Delta ^{2}\ w=P}
D
:=
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
{\displaystyle D:={\frac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}}
называется изгибной или цилиндрической жесткостью пластины.[5]
При выводе уравнений Фёппля — фон Кармана предполагается верным следующее кинематическое соотношение (также известное как гипотеза Кирхгофа ): нормали к поверхности пластины остаются перпендикулярными к пластине после деформации. Также предполагается, что перемещения в плоскости мембраны незначительны и изменения в толщине пластины пренебрежимо малы. Эти предположения подразумевают, что поле смещения u [10]
u
1
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
v
1
(
x
1
,
x
2
)
−
x
3
∂
w
∂
x
1
,
u
2
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
v
2
(
x
1
,
x
2
)
−
x
3
∂
w
∂
x
2
,
u
3
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
w
(
x
1
,
x
2
)
{\displaystyle u_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{1}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}~,~~u_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=v_{2}(x_{1},x_{2})-x_{3}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}~,~~u_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=w(x_{1},x_{2})}
где v
[ править | править код ] Компоненты трехмерного лагранжиана тензора деформаций Грина определяются как
E
i
j
:=
1
2
[
∂
u
i
∂
x
j
+
∂
u
j
∂
x
i
+
∂
u
k
∂
x
i
∂
u
k
∂
x
j
]
.
{\displaystyle E_{ij}:={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right]\,.}
Подстановка выражений для поля смещения даёт
E
11
=
∂
u
1
∂
x
1
+
1
2
[
(
∂
u
1
∂
x
1
)
2
+
(
∂
u
2
∂
x
1
)
2
+
(
∂
u
3
∂
x
1
)
2
]
=
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
+
1
2
[
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
2
)
2
+
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
+
(
∂
w
∂
x
1
)
2
]
E
22
=
∂
u
2
∂
x
2
+
1
2
[
(
∂
u
1
∂
x
2
)
2
+
(
∂
u
2
∂
x
2
)
2
+
(
∂
u
3
∂
x
2
)
2
]
=
−
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
+
1
2
[
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
2
+
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
2
2
)
2
+
(
∂
w
∂
x
2
)
2
]
E
33
=
∂
u
3
∂
x
3
+
1
2
[
(
∂
u
1
∂
x
3
)
2
+
(
∂
u
2
∂
x
3
)
2
+
(
∂
u
3
∂
x
3
)
2
]
=
1
2
[
(
∂
w
∂
x
1
)
2
+
(
∂
w
∂
x
2
)
2
]
E
12
=
1
2
[
∂
u
1
∂
x
2
+
∂
u
2
∂
x
1
+
∂
u
1
∂
x
1
∂
u
1
∂
x
2
+
∂
u
2
∂
x
1
∂
u
2
∂
x
2
+
∂
u
3
∂
x
1
∂
u
3
∂
x
2
]
=
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
+
1
2
[
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
2
)
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
+
x
3
2
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
(
∂
2
w
∂
x
2
2
)
+
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
]
E
23
=
1
2
[
∂
u
2
∂
x
3
+
∂
u
3
∂
x
2
+
∂
u
1
∂
x
2
∂
u
1
∂
x
3
+
∂
u
2
∂
x
2
∂
u
2
∂
x
3
+
∂
u
3
∂
x
2
∂
u
3
∂
x
3
]
=
1
2
[
x
3
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
(
∂
w
∂
x
1
)
+
x
3
(
∂
2
w
∂
x
2
2
)
(
∂
w
∂
x
2
)
]
E
31
=
1
2
[
∂
u
3
∂
x
1
+
∂
u
1
∂
x
3
+
∂
u
1
∂
x
3
∂
u
1
∂
x
1
+
∂
u
2
∂
x
3
∂
u
2
∂
x
1
+
∂
u
3
∂
x
3
∂
u
3
∂
x
1
]
=
1
2
[
x
3
(
∂
w
∂
x
1
)
(
∂
2
w
∂
x
1
2
)
+
x
3
(
∂
w
∂
x
2
)
(
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
)
]
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\&=-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\E_{22}&={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\&=-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right]\\&=-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\\E_{23}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\right]\\E_{31}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\right]\end{aligned}}}
Для малых деформаций, но умеренных поворотов , поправки высших порядков, которыми нельзя пренебюречь
(
∂
w
∂
x
1
)
2
,
(
∂
w
∂
x
2
)
2
,
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
.
{\displaystyle \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}~,~~\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}~,~~{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\,.}
Игнорируя все высшие порядки, и соблюдая требования о том, что пластина не меняет своей толщины, компоненты тензора деформации приводятся к виду деформаций фон Кармана
E
11
=
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
+
1
2
(
∂
w
∂
x
1
)
2
E
22
=
−
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
+
1
2
(
∂
w
∂
x
2
)
2
E
12
=
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
+
1
2
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
E
33
=
0
,
E
23
=
0
,
E
31
=
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&=-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\\E_{22}&=-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\\E_{12}&=-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\\E_{33}&=0~,~~E_{23}=0~,~~E_{31}=0\,.\end{aligned}}}
Если предположить, что компоненты тензора напряжений Коши линейно связаны с деформациями фон Кармана посредством закона Гука , пластина изотропная и однородная и, что пластина подвержена только плоским напряжениям[11] σ 33 σ 13 σ 23
[
σ
11
σ
22
σ
12
]
=
E
(
1
−
ν
2
)
[
1
ν
0
ν
1
0
0
0
1
−
ν
]
[
E
11
E
22
E
12
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{11}\\E_{22}\\E_{12}\end{bmatrix}}}
Разлагая слагаемые получим три ненулевые напряжения
σ
11
=
E
(
1
−
ν
2
)
[
(
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
+
1
2
(
∂
w
∂
x
1
)
2
)
+
ν
(
−
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
+
1
2
(
∂
w
∂
x
2
)
2
)
]
σ
22
=
E
(
1
−
ν
2
)
[
ν
(
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
2
+
1
2
(
∂
w
∂
x
1
)
2
)
+
(
−
x
3
∂
2
w
∂
x
2
2
+
1
2
(
∂
w
∂
x
2
)
2
)
]
σ
12
=
E
(
1
+
ν
)
[
−
x
3
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
+
1
2
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right)+\nu \left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right)\right]\\\sigma _{22}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right)+\left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right)\right]\\\sigma _{12}&={\cfrac {E}{(1+\nu )}}\left[-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\,.\end{aligned}}}
Результирующие напряжения в пластине определяются как
N
α
β
:=
∫
−
h
/
2
h
/
2
σ
α
β
d
x
3
,
M
α
β
:=
∫
−
h
/
2
h
/
2
x
3
σ
α
β
d
x
3
.
{\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}\sigma _{\alpha \beta }\,dx_{3}~,~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h/2}^{h/2}x_{3}\,\sigma _{\alpha \beta }\,dx_{3}\,.}
Поэтому
N
11
=
E
h
2
(
1
−
ν
2
)
[
(
∂
w
∂
x
1
)
2
+
ν
(
∂
w
∂
x
2
)
2
]
N
22
=
E
h
2
(
1
−
ν
2
)
[
ν
(
∂
w
∂
x
1
)
2
+
(
∂
w
∂
x
2
)
2
]
N
12
=
E
h
2
(
1
+
ν
)
∂
w
∂
x
1
∂
w
∂
x
2
{\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{22}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{12}&={\cfrac {Eh}{2(1+\nu )}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\end{aligned}}}
и
M
11
=
−
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
[
∂
2
w
∂
x
1
2
+
ν
∂
2
w
∂
x
2
2
]
M
22
=
−
E
h
3
12
(
1
−
ν
2
)
[
ν
∂
2
w
∂
x
1
2
+
∂
2
w
∂
x
2
2
]
M
12
=
−
E
h
3
12
(
1
+
ν
)
∂
2
w
∂
x
1
∂
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{22}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{12}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1+\nu )}}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.\end{aligned}}}
Решения легче найти, когда уравнения выражаются через результирующие напряжения, а не напряжения в плоскости.
[ править | править код ] Уравнения Фёппля — фон Кармана как правило, получают с помощью энергетического подхода с учетом изменения внутренней энергии и виртуальную работу внешних сил. Аналогичный подход можно использовать для записи этих уравнений через результирующие напряжения. Определяющие уравнения
∂
2
M
11
∂
x
1
2
+
∂
2
M
22
∂
x
2
2
+
2
∂
2
M
12
∂
x
1
∂
x
2
+
∂
∂
x
1
(
N
11
∂
w
∂
x
1
+
N
12
∂
w
∂
x
2
)
+
∂
∂
x
2
(
N
12
∂
w
∂
x
1
+
N
22
∂
w
∂
x
2
)
=
P
∂
N
α
β
∂
x
β
=
0
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}M_{11}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{22}}{\partial x_{2}^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{12}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left(N_{11}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left(N_{12}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}+N_{22}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)=P\\&{\frac {\partial N_{\alpha \beta }}{\partial x_{\beta }}}=0\,.\end{aligned}}}
↑ Föppl А., "Ворлесунген über технический механик", Б. Г. Теубнер , бул. 5., С. 132, Лейпциг, Германия (1907)
↑ фон Kármán, т., "Festigkeitsproblem им Машиненбау," Encyk.
↑ Э. Серда и Л. Махадеван, 2003, "геометрия и физика Сморщивать" физ.
↑ Physics - Simplifying Crumpled Paper (неопр.) . Дата обращения: 16 апреля 2019. Архивировано 27 сентября 2011 года.↑ 1 2 3 "Теория упругости".
↑ The 2-dimensional Laplacian , Δ , is defined as
Δ
w
:=
∂
2
w
∂
x
α
∂
x
α
=
∂
2
w
∂
x
1
2
+
∂
2
w
∂
x
2
2
{\displaystyle \Delta w:={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}={\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}}
↑ von Karman plate equations (неопр.) . Дата обращения: 16 апреля 2019. Архивировано 16 апреля 2019 года.↑ 1 2 Ciarlet, P. G. (1990), Plates and Junctions in Elastic Multi-Structures , Springer-Verlag. ↑ Ciarlet, Philippe G. (1980), A justification of the von Kármán equations ↑ Ciarlet, Philippe G. (1980), "A justification of the von Kármán equations", Archive for Rational Mechanics and Analysis , 73 (4): 349–389., doi :10.1007/BF00247674 ↑ Как правило, предположение о нулевой плоскости напряжений производится в этот момент.
![{\displaystyle \nabla ^{4}w:={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\alpha }}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{\beta }\partial x_{\beta }}}\right]={\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6418da02ee027902d7a19db03e9ad1bb78350f2)
![{\displaystyle E_{ij}:={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}\,{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}\right]\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd4450a2a83373b31540893d6ac450d754d518fa)
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{11}&={\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\&=-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right]\\E_{22}&={\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\&=-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{33}&={\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\E_{12}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right]\\&=-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\left[x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)+x_{3}^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)+{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\\E_{23}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right)\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\right]\\E_{31}&={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\,{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\left[x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}\right)+x_{3}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b60f58b062b2bb52d02c7d61e16f8fb2e385dbfd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right)+\nu \left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right)\right]\\\sigma _{22}&={\cfrac {E}{(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}\right)+\left(-x_{3}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right)\right]\\\sigma _{12}&={\cfrac {E}{(1+\nu )}}\left[-x_{3}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}+{\frac {1}{2}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right]\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99696cc7992f0f04a3a88ddc9236ac80069bb162)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{11}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[\left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{22}&={\cfrac {Eh}{2(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \left({\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\right)^{2}\right]\\N_{12}&={\cfrac {Eh}{2(1+\nu )}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{1}}}\,{\frac {\partial w}{\partial x_{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991b21abce5f85029bbe313d14b5a429b9a0b7a8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}M_{11}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{22}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\left[\nu \,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{2}^{2}}}\right]\\M_{12}&=-{\cfrac {Eh^{3}}{12(1+\nu )}}\,{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9978d96743345f280f7c19317c05977c4254f41)
