Функции Джека

В математике, функции Джека получаются как проективный предел многочленов Джека, введённых Генри Джеком. Многочлен Джека это однородный, симметрический многочлен который обобщает многочлены Шура и зональные многочлены, и, в свою очередь, обобщён многочленами Хекмана – Опдама и многочленами Макдональда.

Определение

В кольце $\Lambda ^{n}$ однородных симметрических функций степени n можно ввести скалярное произведение следующим образом: $<p_{\lambda },p_{\mu }>=z_{\lambda }\delta _{\mu \lambda }$, где $p_{\lambda }(x)$ — базис из степенных сумм, $z_{\lambda }$ — централизатор разбиения $\lambda$, а $\delta _{\mu \lambda }$ — символ Кронекера. При таком определении скалярного произведения функции Шура образуют ортонормированный базис, а матрица перехода от мономиального базиса $m_{\lambda }$ к базису из функций Шура $s_{\lambda }$ будет верхнетреугольной.

Более общий вариант задания скалярного произведения $<p_{\lambda },p_{\mu }>=\alpha ^{l(\lambda )}z_{\lambda }\delta _{\mu \lambda }$ приводит к рассмотрению базиса из функций Джека со схожими свойствами. Они обозначаются $J_{\lambda }(x;\alpha )$ и однозначно определяются из следующих трёх свойств:

(P1) (ортогональность) $<J_{\lambda }(\alpha ),J_{\mu }(\alpha )>=0$ при $\lambda \not =\mu$

(P2) (верхнетреугольность) $J_{\lambda }(\alpha )=\sum \limits _{\mu \leq \lambda }\nu _{\lambda \mu }m_{\mu }$

(имеется ввиду естественный частичный порядок на разбиениях)

(P3) (нормализация) $[m_{\lambda }]J_{\lambda }(\alpha )=h_{\lambda }(\alpha )=\prod \limits _{s\in \lambda }(\alpha a(s)+l(s)+1)$

(суммирование ведётся по ячейкам разбиения, a(s) - число ячеек справа от s, l(s) - число ячеек под s)

Т.е. функции Джека являются результатом ортогонализации методом Грамма-Шмидта мономиального базиса.

Рекурсивная формула для многочленов Джека

Функция Джека $J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})$ разбиения числа $k$, с параметром $\alpha$, заданным числом аргументов $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}$ может также быть определена следующей рекурсивной формулой:

Для m=1

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )$

Для m>1

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu },$

где суммирование производится по всем разбиениям $\mu$ таким что косое разбиение $\kappa /\mu$ является горизонтальной полосой, а именно

$\kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}$ ($\mu _{n}$ должно равняться 0, иначе $J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0$) и

$\beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},$

где $B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)$ равняется $\kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)$ если $\kappa _{j}'=\mu _{j}'$ и $\kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)$ иначе. Выражения $\kappa '$ и $\mu '$ обозначают сопряжённые разбиения $\kappa$ и $\mu$ соответственно. Обозначение $(i,j)\in \kappa$ значит, что произведение берётся по всем координатам $(i,j)$ ячеек в диаграмме Юнга разбиения $\kappa$.

Комбинаторная формула

В 1997, Ф. Кноп и С. Сахи получили чисто комбинаторную формулу для многочленов Джека $J_{\mu }^{(\alpha )}$ от n переменных:

$J_{\mu }^{(\alpha )}=\sum _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.$

Сумма берётся по всем допустимым таблицам формы $\lambda ,$ и

$d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in K}d_{\lambda }(\alpha )(s),$

где

$d_{\lambda }(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda }(s)+1)+(l_{\lambda }(s)+1).$

Допустимая таблица формы $\lambda$ это заполнение диаграммы Юнга $\lambda$ числами 1,2,…,n такими, что для каждой ячейки (i,j) в таблице,

• $T(i,j)\neq T(i',j)$, если $i'>i.$
• $T(i,j)\neq T(i,j-1)$, если $j>1$ и $i'<i.$

$K\subset T$ — множество критических ячеек $s=(i,j)\in \lambda$, таких что $j>1$ и $T(i,j)=T(i,j-1).$

Этот результат можно рассматривать как особый случай более общей комбинаторной формулы для многочленов Макдональда.

C нормализация

Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметрических многочленов, со следующим скалярным произведением:

$\langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}$

Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Нормализация, описанная выше, обычно обозначается J нормализацией. C нормализация определена как

$C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),$

где

$j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).$

Для $\alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ обычно обозначается $C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})$ и называется зональным многочленом.

P нормализация

P нормализация задаётся тождеством $J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }$, где

$H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1),$

где $a_{\lambda }$ и $l_{\lambda }$ обозначают число ячеек справа от данной и число ячеек ниже данной соответственно. Таким образом, при $\alpha =1,P_{\lambda }$ является обычной функцией Шура.

Подобно многочленам Шура, $P_{\lambda }$ может быть выраженно суммой по диаграммам Юнга. Однако, нужно добавить к каждой таблице дополнительный вес, зависящий от параметра $\alpha$.

Таким образом, формула для функций Джека $P_{\lambda }$ задаётся как

$P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)},$

где сумма берётся по всем таблицам формы $\lambda$, и $T(s)$ обозначает число, записанное в ячейке s таблицы T.

Вес $\psi _{T}(\alpha )$ можно определить следующим образом: Каждая таблица T формы $\lambda$ может быть представлена как последовательность разбиений

$\emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda ,$

где $\nu _{i+1}/\nu _{i}$ обозначает косую форму с содержимым i в T. Тогда

$\psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha ),$

где

$\psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}$

и произведение берётся только по всем ячейкам s в $\lambda$, таким что s имеет ячейку из $\lambda /\mu$ в том же ряду, но не в одном столбце .

Связь с многочленами Шура

При $\alpha =1$ многочлен Джека является скалярным множителем многочлена Шура

$J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),$

где

$H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)$

произведение берётся по всем длинам крюков разбиения $\kappa$.

Характеры Джека

Рассмотрим разложения функций Джека по степенному базису. Коэффициенты этого разложения $\theta _{\mu }^{\lambda }(\alpha )$ называются характерами Джека: $J_{\lambda }^{(\alpha )}=\sum _{\rho }\theta _{\rho }^{\lambda }p_{\rho }.$

Для некоторых характеров Джека получены следующие формулы:

$\theta _{(1^{n})}^{\lambda }(\alpha )=1,$

$\theta _{(1^{n-2}2^{1})}^{\lambda }(\alpha )=\sum _{s\in \lambda }(\alpha a'(s)-l'(s)),$

$\theta _{(n)}^{\lambda }(\alpha )=\prod _{s\in \lambda \setminus {(1,1)}}(\alpha a'(s)-l'(s)),$

$\theta _{\mu }^{(n)}(\alpha )={\frac {n!}{z_{\mu }}}\alpha ^{n-l(\mu )},$

$\theta _{(1^{n})}^{\lambda }(\alpha )=\theta _{\mu }^{(n)}(-1)={\frac {n!}{z_{\mu }}}(-1)^{n-l(\mu )},$

где $a'(s)$ — число ячеек слева от s в диаграмме Юнга, $l'(s)$ — над s, $z_{\lambda }$ — централизатор разбиения $\lambda =[1^{m_{1}(\lambda )}2^{m_{2}(\lambda )}\dots ]$, равный $z_{\lambda }=\prod _{i}i^{m_{i}(\lambda )}m_{i}(\lambda )!$

Свойства характеров Джека:

• Характеры Джека являются многочленами с целыми коэффициентами от $\alpha$.
• Соотношение ортогональности. $\sum _{\nu }z_{\nu }\alpha ^{l(\nu )}\theta _{\nu }^{\lambda }(\alpha )\theta _{\nu }^{\mu }(\alpha )=\delta _{\lambda \mu }h_{\lambda }(\alpha )\cdot h'_{\lambda }(\alpha ).$
• При $\alpha =1$ характеры Джека пропорциональны характерам симметрической группы ( $S_{n}$, где $n=|\lambda |$), откуда они и получили своё название.

Свойства

Если разбиение имеет больше частей, чем число переменных, то многочлен Джека равняется 0:

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0$, если $\kappa _{m+1}>0.$

Аргумент матрицы

Иногда, особенно в теории случайных матриц, авторы находят более удобным использование матричного аргумента в многочленах Джека. Их связь довольно проста. Если $X$ матрица с собственными значениями $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}$, тогда

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).$

Ссылки

• Demmel, James; Koev, Plamen (2006), "Accurate and efficient evaluation of Schur and Jack functions", Mathematics of Computation, 75 (253): 223—239, CiteSeerX 10.1.1.134.5248, doi:10.1090/S0025-5718-05-01780-1, MR 2176397.
• Jack, Henry (1970-1971), "A class of symmetric polynomials with a parameter", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section A. Mathematics, 69: 1—18, MR 0289462{{citation}}: Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) (ссылка).
• Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (19 March 1997), "A recursion and a combinatorial formula for Jack polynomials", Inventiones Mathematicae, 128 (1): 9—22, arXiv:q-alg/9610016, Bibcode:1997InMat.128....9K, doi:10.1007/s002220050134
• Macdonald, I. G. (1995), Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144
• Stanley, Richard P. (1989), "Some combinatorial properties of Jack symmetric functions", Advances in Mathematics, 77 (1): 76—115, doi:10.1016/0001-8708(89)90015-7, MR 1014073.
• Software for computing the Jack function by Plamen Koev and Alan Edelman.
• MOPS: Multivariate Orthogonal Polynomials (symbolically) (Maple Package)
• SAGE documentation for Jack Symmetric Functions