Четверная группа Клейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Четверна́я гру́ппа Кле́йна — конечная коммутативная группа четвёртого порядка, играет важную роль в высшей алгебре. Часто обозначается V или V_{4} (от нем. Vierergruppe — четверная группа).

Определение[править | править вики-текст]

Бинарная операция между элементами четверной группы Клейна задаётся следующей таблицей умножения[1]:

* 1 a b c
1 1 a b c
a a 1 c b
b b c 1 a
c c b a 1

Здесь 1, a, b, c — элементы четверной группы Клейна, единица обозначает нейтральный элемент группы. В этой таблице в первом столбце указан первый участник бинарной операции, в первой строке указан второй участник операции, на пересечении строки и столбца находится результат операции, задающей группу.

Из таблицы видно, что порядок каждого элемента, отличного от единицы, равен 2, поэтому группа не является циклической.

Свойства[править | править вики-текст]

Некоторые применения[править | править вики-текст]

Симметрии ромба

Данная группа встречается во многих разделах математики. Примеры изоморфных ей групп:

  • Множество {0, 1, 2, 3} с операцией побитовое исключающее ИЛИ.
  • Приведённая система вычетов по модулю 8, состоящая из классов 1, 3, 5, 7.
  • Группа симметрий ромба (в пространстве), состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на 180^\circ и два отражения относительно диагоналей[3].
  • Группа поворотов тетраэдра на угол \pi вокруг всех трёх рёберных медиан (вместе с тождественным поворотом)[4].

История[править | править вики-текст]

Группа впервые описана и исследована Феликсом Клейном в 1884 году в работе «Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade»[5].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. П. С. Александров. Введение в теорию групп. М.: «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 1 «Понятие группы», п. 2 «Вводные примеры», п. 4 «Клейновская группа четвертого порядка», c. 23;
  2. 1 2 Зайцев В. Ф. «Введение в современный групповой анализ», Санкт-Петербург, 1996, УДК 517.9, п. 2 «Дискретные группы преобразований», c. 10
  3. П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 3 «Случай вырождения: группы поворотов отрезка и ромба», c. 71;
  4. П. С. Александров «Введение в теорию групп», М., «Наука», 1980, 144 с., «Библиотечка Квант», вып. 7, ББК 22.144 517.1, гл. 5 «Простейшие группы самосовмещений», п. 3 «Группы поворотов правильной пирамиды и двойной пирамиды», п. 4 «Группа поворотов правильного тетраэдра», c. 75;
  5. Клейн Ф. «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени.» — М.: «Наука», 1989. — 336 с.