Числа Эйлера I рода

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В комбинаторике числом Эйлера I рода из n по k, обозначаемым или , называется количество перестановок порядка n с k подъёмами, то есть таких перестановок , что существует ровно k индексов j, для которых .

Числа Эйлера I рода обладают также геометрической и вероятностной интерпретацией — число выражает:

Пример[править | править вики-текст]

Перестановки четвертого порядка, имеющие ровно два подъёма, должны удовлетворять одному из трёх неравенств: , или . Таких перестановок ровно 11 штук:

1324, 1423, 2314, 2413, 3412, 1243, 1342, 2341, 2134, 3124, 4123.

Поэтому .

Свойства[править | править вики-текст]

Для заданного натурального числа существует единственная перестановка без подъёмов, то есть . Также существует единственная перестановка, которая имеет n-1 подъёмов, то есть . Таким образом,

для всех натуральных .

Зеркальным отражением перестановки с m подъёмами является перестановка с n-m-1 подъёмами. Таким образом,

Треугольник чисел Эйлера первого рода[править | править вики-текст]

Значение чисел Эйлера для малых значений n и k приведены в следующей таблице (последовательность A008292 в OEIS):

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1 1 0
2 1 1 0
3 1 4 1 0
4 1 11 11 1 0
5 1 26 66 26 1 0
6 1 57 302 302 57 1 0
7 1 120 1191 2416 1191 120 1 0
8 1 247 4293 15619 15619 4293 247 1 0
9 1 502 14608 88234 156190 88234 14608 502 1 0

Легко понять, что значения на главной диагонали матрицы задаются формулой:

Треугольник Эйлера, как и треугольник Паскаля, симметричен слева и справа. Но в этом случае закон симметрии несколько отличен:

при n > 0.

То есть перестановка имеет n-1-k подъёмов тогда и только тогда, когда её «отражение» имеет k подъёмов.

Рекуррентная формула[править | править вики-текст]

Каждая перестановка из набора приводит к перестановкам из , если мы вставляем новый элемент n всеми возможными способами. Вставляя в -ю позицию, получаем перестановку . Количество подъёмов в равняется количеству подъёмов в , если или если ; и оно больше количества подъёмов в , если или если . Следовательно, в сумме имеет способов построения перестановок из , которые имеют подъёмов, плюс способов построения перестановок из , которые имеют подъёмов. Тогда искомая рекуррентная формула для целых имеет вид:

Положим также, что

(для целых ),

и при :

Явные формулы[править | править вики-текст]

Явная формула для чисел Эйлера I рода:

позволяет получить относительно простые выражения при малых значениях m:

Формулы суммирования[править | править вики-текст]

Из комбинаторного определения очевидно, что сумма чисел Эйлера I рода, расположенных в n-й строке, равна , так как она равна количеству всех перестановок порядка :

Знакопеременные суммы чисел Эйлера I рода при фиксированном значении n связаны с числами Бернулли :

Также справедливы следующие тождества, связывающие числа Эйлера I рода с числами Стирлинга II рода:

Производящая функция[править | править вики-текст]

Производящая функция чисел Эйлера I рода имеет вид:

Числа Эйлера I рода связаны также с производящей функцией последовательности -х степеней (полилогарифм целого отрицательного порядка):

Кроме того, Z-преобразование из

является генератором первых N строк треугольник чисел Эйлера, когда знаменатель -й элемента преобразования сокращается умножением на :

Тождество Ворпицкого[править | править вики-текст]

Тождество Ворпицкого выражает степенную функцию в виде суммы произведений чисел Эйлера I рода и обобщённых биномиальных коэффициентов:

В частности:

и т. д. Эти тождества легко доказываются по индукции.

Тождество Ворпицкого даёт ещё один способ вычисления суммы первых квадратов:

Литература[править | править вики-текст]